Matrice

[invite59250f02]

Bonsoir,

voila dans un exercice, on nous dit de donner une condition nécessaire et suffisante pour que (avec M une matrice qcq) soit un polynôme en t , la condition que j'ai donné, est la suivante:" 0 est la seule valeur propre de la matrice M",
j'ai pu montrer que si 0 est valeur propre alors on a le résultat, mais l'autre sens j'ai pas pu le faire..???

Merci pour votre aide

Cordialement
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[Tiky]

Bonjour;

Une matrice n'admet que 0 comme valeur propre si et seulement si elle est nilpotente. Si est un polynôme, en le dérivant suffisamment de fois, on obtient le polynôme nul.
Je te laisse continuer.

[invite3da4dc95]

Ne pourrait-on pas imaginer un cas où l'on aurait un matrice telle que et pour tout entier naturel non nul.
Par exemple, la matrice 1x1 , où diag(-1, ..., -1). Il me semble avoir déjà entendu que au sens de Riemann, la somme des de 0 à l'infini cela vers 1/2, mais sans jamais nous avoir expliqué ce que signifiait "au sens de Riemann".
Si quelqu'un le sait, que fait la somme dans ces cas là ?

Bon, en dehors de cela, je pense qu'il est tout à fait logique de partir sur la piste de la nilpotence. Je n'ai rien de plus à ajouter à ce que Tiky a dit.

[invite59250f02]

Bonjour;

Une matrice n'admet que 0 comme valeur propre si et seulement si elle est nilpotente. Si est un polynôme, en le dérivant suffisamment de fois, on obtient le polynôme nul.
Je te laisse continuer.

Bonjour,
je vous donne ma réponse et à vous de me corriger .
si on suppose que est un polynôme de degré n , et on dérive les deux cotés , on obtient que donc je conclut que M est nilpotente, et par suite , elle admet que 0 comme valeur propre...c'est bien cela..???

Merci encore pour votre aide

[A voir en vidéo sur Futura]

[Tiky]

Oui c'est bien ça.

[invite59250f02]

merci beaucoup pour votre aide
la propriété que vous avez cité, je ne l'ai pas vu dans mon cours d’algèbre, donc apparemment y a beaucoup de notions sur les matrices qui m’échappent, pourriez vous m'indiquer si c'est possible ou je pourrai trouver un complément de cours sur les matrices..??

Merci encore et bonne soirée

[Tiky]

Tu peux déjà regarder dans la bibliothèque du site : http://forums.futura-sciences.com/ma...ematiques.html
La démonstration de la propriété est très facile si on connaît les polynômes d'endomorphismes.

Soit une matrice d'ordre n complexe. On veut montrer que M est nilpotente si et seulement si elle admet 0 comme unique valeur propre.
Supposons que M admet 0 comme unique valeur propre, alors le polynôme caractéristique de M est car est scindé.
Le théorème de Cayley-Hamilton assure que et donc M est nilpotent.

Réciproquement, si est nilpotent, il existe un entier tel que . Or le polynôme minimal par définition
divise tous les polynômes annulateurs de M, donc le polynôme minimal est de la forme avec . Comme les valeurs propres de M
sont racines du polynômes minimales et que 0 est l'unique racine de celui-ci, on en conclut que 0 est l'unique valeur propre possible et comme est scindé
on sait que M admet forcément une valeur propre.

[invite59250f02]

Merci beaucoup pour votre réponse, c'est très clair la démonstration, je vous remercie

bonne soirée