Matrices , applications linéaires

[invited009b556]

Bonjour , voici le sujet , je voudrais savoir si mes réponses sont bonnes:
Soit (e1, e2, e3) la base canonique de R3. Soit f : R3-> R3 linéaire définie par
f(e1) = −e1 + e2 + e3, f(e2) = −2e1 + 2e3, f(e3) = −4e1 + e2 + 4e3.
1)Donner A la matrice de f dans (e1, e2, e3).
2)Donner une base de Imf.
3)Pour quelles valeurs de t appartenant à R, l'application linéaire f −tId(R3) est une bijection?
4)Donner un vecteur v1 qui est une base de ker(f − 3IdR3) et un vecteur v2 qui
est une base de ker(f). Montrer que (v1, v2, e1) forme une base de R3.
5)Ecrire la matrice de f dans cette base.

1) j'ai trouvé :
(-1 -2 -4
1 0 1
1 2 4 )

2) une base de IMf j'ai trouvé (f(e1),f(e2))

3)j'ai calculer le détérminant de la matrice en mettant dans la diagonale (-1-t,-t,4-t)
ensuite j'ai trouvé t²(3+t)

donc les valeurs doivent être différentes de 0 et 3?

4)

une base de ker(f-3id) je trouves:v1= (1,0,-1)=e1-e3
et v2=(2/3,1,-2/3)

ils forment une base parce que les coordonnées ne sont pas proportionnels
et le déterminant est non nul .

5) j'ai trouvé
(1 2/3 -1
0 1 1
-1 -2/3 1)
?

Exercice 2 :
Soient un, vn deux suites réelles définies par u0 = 0, v0 = 0 et un+1 = un + vn,
vn+1 = 3un − vn. Dans ce qui suit, on note (e1, e2) la base canonique de R2, Xn le
vecteur (un, vn) de R2.

1)Trouver A la matrice 2×2 telle que Xn+1 = AXn. Calculer les valeurs propres
de A

pour celle là j'ai pris Xn+1=x1 et Xn=x0, mais je ne vois pas comment avoir une matrice ?

2)Trouver deux vecteurs u différent de 0 et v différent de 0 tels que : A(u) = 2u, A(v) = −2v.
Ecrire B la matrice associée à A dans la base (u, v).

3)Donner P(resp. P−1)la matrice de passage de (u, v) `a (e1, e2)(resp. la matrice
de passage de (e1, e2) à (u, v)). Exprimer A en fonction de B, P et P−1.

4)En déduire An en fonction de n.

5)Exprimer Xn en fonction de An et de X0 ; en déduire l’expression de un, vn
en fonction de n.
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[invite705d0470]

Bonjour
Pour l'exercice 1, qui traite des valeurs propres, je suis d'accord sauf pour la conclusion sur la matrice (qui n'est pas plus simple que la première, ce qui est surprenant après 4 questions ^^): en faisant le calcul, j'ai trouvé , ce qui est rassurant puisqu'on retrouve dans les deux premières colonnes le résultat attendu: les valeurs propres de A (questions 3 et 4), après je ne sais pas à quoi correspond la 3-ème colonne

Pour le 2:
En fait, avecla règle de multiplication des matrices on peut écrire avec .
Tu peux ensuite la transformer en cette relation : en connaissant les puissances de A (questions suivantes), on a un moyen de trouver une autre expression des suites

PS: en fait, d'après la question suivante on sait que les valeurs propres de A seront 2 et -2, u et v étant des bases de ces espaces propres associés. C'est exactement la même méthode que l'exercice précédent, et on peut donc déjà prévoir que A sera semblable à la matrice

[invited009b556]

Merci pour ta réponse
Je ne comprends pas comment tu obtiens la matrice à la question 5) , ce n'est donc pas la matrice de passage qu'il faut chercher ?

[invite705d0470]

Oui.
Une fois la matrice de passage et son inverse connus, tu fais le produit ^^

[A voir en vidéo sur Futura]

[invited009b556]

je ne trouves pas P^-1 , on doit bien résoudre la matrice de passage en fonction de trois inconnues XYZ et en matrice de passage tu as bien
(1 0 0
2/3 1 -2/3
-1 1 1 )?

[invite705d0470]

Ah, non.
Ta matrice de passage n'est autre que la matrice des vecteurs que tu as trouvés précédemment (bases des Ker(À-λI) et e1) dans la base canonique
J'ai déterminé son inverse par Gauss tout simplement (c'est un peu fastidieux, mais je ne connais pas la signification de la troisième colonne de la matrice finale, donc je dois la calculer, ce qui revient quasiment à tout calculer ^^).

[invited009b556]

oui mais donc c'est cette matrice là :
(1 0 0
2/3 1 -2/3
-1 1 1 )?
fin je veux dire c'est dans la base v1,v2,e1?
je comprends pas pourquoi on doit trouver l'inverse et faire le produit ?