EDO linéaire: Stabilité d'un point d'équilibre

[jinmu]

Bonjour,


Soit , on considère le système autonome associé:



On suppose que ce système admet une unique solution pour toute condition initiale . On suppose diagonalisable sur ou

Dans le cas où admet deux valeurs propres complexes conjuguées de partie réelle nulle, peut-on dire que est un point d'équilibre asymptotiquement stable?

Merci d'avance pour votre aide.
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[Tiky]

Bonjour,

Pourrais-tu préciser les hypothèses faites sur F et ce qu'est A ? Je suppose que c'est la matrice jacobienne de F prise en un certain point...

[jinmu]

Merci pour ta réponse. J'ai effectivement oublié de préciser de dire comment est définie. On a .

[Tiky]

Cela ne répond pas à la question que j'ai posée. Quel est le lien entre F et A ? Ce que tu donnes n'est d'ailleurs pas une définition de A.

[A voir en vidéo sur Futura]

[Tiky]

Si tu es dans le cas particulier où F est une application linéaire et A sa matrice dans une certaine base, alors l'origine (c'est-à-dire le vecteur nul) est asymptotiquement stable dans le futur si et seulement si la partie réelle de toutes les valeurs propres est strictement négative.

[Tiky]

Correction : le critère que j'ai donné est valable seulement si tu veux que l'origine soit globalement asymptotiquement stable.

[jinmu]

Merci Tiky, et désolé des imprécisions dans ma question. est bien la matrice de dans une certaine base.

A partir de la condition nécessaire et suffisante que tu as donné (négativité stricte des valeurs propres réelles), on peut donc conclure que si les valeurs propres de A ont une partie réelle nulle, alors n'est pas un équilibre asymptotiquement stable?

[helycopter]

Salut jinmu, voici un livre qui va te permettre d'y voir clair et de mettre les points sur les i , tu trouvera aussi lecritère dont ticky a parlé (critère de routh-hurwitz) bonne exploration!

[helycopter]

oups,je suis désolé pour la pièce jointe ça n'a pas voulu se charger.passe moi ton adresse de messagerie et je te l'enverrai nchallah.