Décomposer une fraction rationnelle en éléments simples

[Zabour]

Bonsoir, j'ai décomposé une fraction rationnelle, et je voulais savoir si c'était juste
[x^2 +1] / (x (x-1) (x^2-2x+4)

je fais les deux racines irréelles de x^2-2x+4 je trouve 1-i racine(3) et 1+ i racine(3)
A/(x-1+racine3i) + B/ (x-1- racine3i) = [x^2 +1] / x (x-1) (x-1+racine3i) (x-1- racine3i)
d'où A= -2racine3i-1/ (-6+6racine3i)
B= 2racine3i -1/(-6-6racine3i)

c'est bon ou pas?

merci
-----

[invitecb480987]

Bonjour.

Non, cela ne correspond pas à une décomposition en éléments simples. Une décomposition en éléments simples consiste à " transformer " une fraction en somme de plusieurs fractions, où, dans la cas idéal et simple, le degré des numérateurs est strictement inférieur au degré des dénominateurs ( cela est une constante dans la plupart des décompositions banales ) une fois décomposée.
Néanmoins dans la fraction à laquelle tu es bloqué n'est pas des plus simples. Et à vrai dire j'ai trouvé la réponse d'une manière peu banale.
Alors, j'ai commencé par effectuer cette division euclidienne : . Pourquoi cela et comment j'ai obtenu ?
Tout simplement, ton calcul étant : , j'ai simplement développé le x du dénominateur avec le x-1 juste à côté. J'ai fait cela de sorte à me ramener à une équation du deuxième degré pour ensuite effectuer la division euclidienne ci-dessus.
Ayant effectué la division euclidienne ( sauf erreur de ma part ) , j'obtiens :
Cela étant fait, je remplace le numérateur : par ce que j'ai obtenu avec la division euclidienne :
J'obtiens donc : = = = = après développement du dénominateur.
Et voilà, j'ai bien obtenu une décomposition en éléments simples ( avec une méthode qui sort un peu de l'ordinaire du fait que j'ai même pas eu besoin de faire une identification de coefficients, ni de limites pour déterminer les inconnues dans l'identification des coefficients... ).
Bon, j'espère que je n'ai pas fait de fautes d'inattention. Cela étant dit, j'espère que je t'ai bien aidé pour ta décomposition
Amicalement, SyTeK.

[Snowey]

SyTek, je vais peut être dire une bêtise, mais pour moi vous n'avez pas fait une décomposition en éléments simples (ni dans R ni dans C), ou pour être plus exact ceci n'est pas LA décomposition en élément simple classique de la fraction rationnelle.

Toujours selon moi, on ne développe jamais les dénominateurs déjà factorises, on continue de les décomposer (le plus souvent d'abord dans C puis dans R souvent) pour parvenir à LA (j'insiste parce qu'on est sensé avoir unicité de cette écriture !) décomposition, qui ne fait apparaître que des polynômes irréductibles au dénominateurs (autrement dit toutes les parties polaires).

Si quelqu'un a le temps de la faire, vous verrez qu'on peut faire mieux
Snowey

[invitecb480987]

Ah oui, mince j'avais oublié que le dénominateur doit être irréductible...
Bon c'est vrai que j'ai fait ça à 00 h 16, je crois que je pensais surtout à aller dormir
Cela étant dit je vais voir pour le faire avec une autre méthode et je la poste dès que j'ai trouvé

[A voir en vidéo sur Futura]