Somme d'une série entière

[invite20890e0d]

Bonjour à tous
Je bloque à la première question de l'exercice suivant :
Soit

1) déterminer le rayon de convergence et la somme de la série entière
2) en déduire
Bon le rayon ca va mais la somme ca se complique... j'ai essayé de dériver en multipliant par x à la puissance ... mais les calculs ne semblaient pas aboutir et j'ai essayé de décomposer en élément simples mais je me retrouve avec trois sommes, deux simples et une avec laquelle je ne sais pas quoi faire: j'ai essayé d'écrire une équation différentielle avec cette somme mais on ne peut pas résoudre je l'ai donc sous forme d'intégrale... et surtout tous les termes divergent quand je fais tendre vers 1 donc vu la question suivante je ne suis pas sur que ce soit la bonne méthode...
Si jamais quelqu'un pouvait me donner la bonne méthode ça serait sympa
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[Tiky]

Bonjour,

Ta dernière somme est presque le développement en série entière de la fonction argth :
http://fr.wikipedia.org/wiki/Formula...e_enti%C3%A8re

[invite20890e0d]

Oui j'avais remarqué mais j'ai pas réussi à m'en servir j'avais essayé d'intégrer ça n'a rien donné...

[Tiky]

Inutile d'intégrer. Je ne sais pas si c'est utile pour la suite en revanche.

On a donc pour ,

[A voir en vidéo sur Futura]

[Tiky]

Pour ,

[invite20890e0d]

Ah oui j avais pas pensé à la racine ... Bah il n'y a plus qu'a faire tendre vers 1 mais j'ai du me planter dans la décomposition en éléments simple

[Tiky]

Personnellement je trouve que pour :




Et

Donc pour , on a que

Et la limite en 1- de cette dernière expression est sauf erreur

[invite20890e0d]

Je trouve la même limite que toi et MAPLE aussi, c'est bon signe

[Tiky]

J'ai vérifié tous les calculs avec Sage alors je pense aussi que c'est bon.
Il reste juste à montrer que et c'est terminé

[breukin]

Il n'y a pas un théorème qui dit que si la série est absolument convergente sur son disque de convergence, et est absolument convergente en un point de son cercle de convergence, alors la somme sur le point est égale à la limite de la somme dans le disque quand on s'approche du point (en restant dans le disque) ?
Les absolument sont peut-être même de trop, à voir.

[Tiky]

Il fallait le laisser chercher ^^'.

[inviteaf1870ed]

Ce théorème suffit, me semble t il : http://fr.wikipedia.org/wiki/Th%C3%A...on_des_limites

[invite20890e0d]

Oui bien sur mais je n'avais pas de problème c'est pour ça que je n'en ai pas parlé mais comme il y a convergence normale sur [0;1] il y a convergence uniforme et on peut donc intervertir somme et limite. Le théorème de breukin est vrai c'est le theoreme d'Abel radial et il n'y a pas besoin de convergence absolu (je crois), la convergence simple en un point du disque assure la convergence uniforme sur le rayon.