Équation différentielle du second ordre, long probleme

[invite945d3fbd]

Bonjour a tous,
On me demande de trouver la solution générale de , d'étudier le comportement des solutions pour et beaucoup d'autres choses (je vais essayer de les faires moi-meme).

Donc je bloque déja au début, trouver la solution générale. Vu que l'équa. diff. possede une singularité en x=-1, il me semble que la méthode de Frobenius est appropriée mais ca ne m'a mené nulle part: En proposant une solution de la forme , en calculant les 2 premieres dérivées et en remplacant dans l'équa. diff. j'obtiens . Ce qui m'embete c'est que le terme a droite n'est pas nul. En gros je suis bloqué ici.
J'aimerais bien avoir vos idées pour résoudre l'équa. diff. Merci d'avance.
-----

[invite63e767fa]

Salut Arbolis87,

Pour ton équation sans second membre :
(x=1)y''+xy'-y=0
une solution évidente est y = C x
Pour trouver l'ensemble des solutions, la méthode de variation de la constante convient.

[invite945d3fbd]

Salut Arbolis87,

Pour ton équation sans second membre :
(x=1)y''+xy'-y=0
une solution évidente est y = C x
Pour trouver l'ensemble des solutions, la méthode de variation de la constante convient.

Salut!
Ok merci pour l'aide. J'ai quelques questions:
1)Vu que c'est une équa. diff. d'ordre 2, il me faut 2 solutions indépendentes de l'équation homogene pour appliquer la méthode de variation de la constante? Dans ce cas il me reste a trouver une autre solution, est-ce exact?
2)Est-il légitime de poser ? Il me semble que oui, mais de la a croire que les solutions de cette équa. diff. sont contenues dans les solutions de l'équa. diff. originale, ca m'a l'air dur a croire. Parce que lorsque le second membre de l'équa. diff. originale s'annule, je suis en train de diviser des termes par 0. Comment justifier que la méthode marche? Simplement en obtenant la solution et en vérifiant?

[invite63e767fa]

La méthode de variation de la constante consiste à remplacer C par F(x) dans y=C*x, donc y=x*F(x).
En reportant cette expression et ses dérivées dans l'équation différentielle, tu obtiendras une autre équation différentielle du second ordre et d'inconnue F(x), mais beaucoup plus facile à résoudre (deux intégrations successives). Donc la solution comprendra bien deux constantes.

[A voir en vidéo sur Futura]

[invite945d3fbd]

La méthode de variation de la constante consiste à remplacer C par F(x) dans y=C*x, donc y=x*F(x).
En reportant cette expression et ses dérivées dans l'équation différentielle, tu obtiendras une autre équation différentielle du second ordre et d'inconnue F(x), mais beaucoup plus facile à résoudre (deux intégrations successives). Donc la solution comprendra bien deux constantes.

Je suis perdu.
J'obtiens . Les deux intégrales ne sont, pour moi en tout cas, pas du tout triviales.
Il me faut récapituler parce qu'il y a des choses que je ne comprends pas.
Je veux résoudre . (1)
Pour le moment je vais "croire" que la solution a l'équation (2) est une solution complémentaire de l'équation (1); je devrai le vérifier a la fin des calculs.
J'appelle donc a la solution de (2). Je me propose de déterminer .
A premiere vue c'est une équation du second ordre et donc il y aura 2 solutions indépendentes. Comme tu l'as dit, est une solution de (2). J'applique la méthode de la variation de la constante pour trouver la solution générale de (2). Tu proposes une solution de (2) comme étant de la forme ; ici j'ai un doute. En regardant sur http://tutorial.math.lamar.edu/Class...arameters.aspx et wikipedia, apparemment je devrais proposer une solution a (2) comme étant de la forme ou et et non de la forme . Wikipedia me dit que je propose une solution particuliere de la forme seulement lorsque l'équa. diff. est d'ordre 1, ce qui n'est pas le cas pour l'équation (2).
En fermant les yeux sur ca et en continuant comme tu l'a dit, j'obtiens ce que j'ai écris au début du message.

[invite63e767fa]

Il ne faut pas faire d'erreur quand on fait le changement !

[invite945d3fbd]

Ok merci beaucoup, j'arrive a .
En réécrivant F'' comme , etc, ca voudrait dire que . La je crois que je me suis planté...

[invite63e767fa]

Non, F''/F' n'est pas égal à ln[x²(x+1)]-x+C
C'est écrit dans mon post précédent :
F''/F' = -(x²+2x+1)/(x(x+1))

[invite945d3fbd]

Non, F''/F' n'est pas égal à ln[x²(x+1)]-x+C
C'est écrit dans mon post précédent :
F''/F' = -(x²+2x+1)/(x(x+1))

Ok pardon, je voulais dire que l'intégrale de F''/F' =ln[x²(x+1)]-x+C mais j'ai fais une erreur de signe.
Voici les détails de mes calculs:
.
Soit . .
Et donc , alors . Encore une autre intégrale a résoudre, je ne suis pas sorti de l'auberge.

[invite63e767fa]

[ est faux.