comparaison d'une série entière et d'exponentielle

[invite20890e0d]

Bonsoir à tous je bloques sur l'exercice suivant :
Soit (a_n) une suite réelle telle que la série de terme général (a_n) converge.
Pour tout réel x on pose Comparer f(x) et e^x au voisinage de
Je voulais étudier f(x)e^-x et montrer qu'elle tend vers 0 en mais je n'ai pour l'instant réussi à le faire que dans le cas ou la série de terme général (a_n) converge absolument, je ne vois pas comment faire sans...
Si jamais quelqu'un a une idée, je suis preneur
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[invite20890e0d]

Peut-être qu'en écrivant ce à quoi j'avais pensé pour le cas ou on a convergence absolue ça donnera des idées à quelqu'un ...
J'ai considéré la série de fonctions . Si la série de terme générale a_n converge absolument alors il y a convergence normale sur [0;] et on peut donc intervertir somme et limite donc =o(e^x) en mais le problème est que je n'arrives pas à montrer la convergence uniforme de la série s'il n'y a pas convergence absolue de la série de terme générale a_n Voila...

[gg0]

Bonsoir.

Comme la série de terme général a_n converge, les a_n tendent vers 0, donc pour n suffisament grand, . ceci permet d'encadrer le reste correpondant de la série f(x) par . On en déduit que f(x)e^-x est encadré au voisinage de + l'infini par .

Cordialement.

[invite20890e0d]

Bonsoir, merci de ta réponse mais j'ai un doute ...
On dit que a_n tend vers 0 donc à partir d'un certain rang N mais le problème est que le rang N dépend de donc la majoration s'écrit et après on ne peut pas faire tendre vers 0 on peut donc juste conclure que f(x) est un O(e^x).
C'est peut être ce que tu voulais dire dans ta réponse précédente mais avec le choix de je ne savais pas si on le faisait tendre après... Et c'est là dessus que j'ai un doute...

[A voir en vidéo sur Futura]

[gg0]

Dans u n premier temps, on encadre la fonction au voisinage de l'infini. Puis on conclut avec la définition de la limite.

désolé d'être court, je n'ai plus le temps.

[gg0]

Bonsoir.

Je viens de regarder à nouveau, et j'ai bien dit ce qu'il fallait. Si tu ne passes pas à f(x) e^-x, tu ne trouves pas le bon résultat.

Cordialement.

[breukin]

On écrit :

avec :


Donc :

avec :


C'est et non qu'on fait ensuite tendre vers l'infini.