Lemme de Zorn et convexité

[invite332de63a]

Bonjour, je vous présente mon problème. Cela fait quelque temps que dans mon coin je travaille un peu sur la convexité. Je me place dans un espace vectoriel E. Soit A une partie de E, je note l'ensemble des parties convexes de A, ensemble non vide car le vide y appartient. J'aimerai montrer que l'ensemble des parties convexes de A est ordonné inductif, sans savoir si cela est vrai, pour ainsi utiliser le lemme de Zorn.

Je prend U une chaine de , je note . Alors , il semble, est convexe comme réunion d'ensembles convexes croissant, et est inclus dans A. Mais il me resterai à montrer, si c'est vrai, que B est un élément de la chaine ... et alors le tour sera joué.

Merci de par avance

RoBeRTo-BeNDeR
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[invite332de63a]

En fait c'est faux... la chaine ([0,1-1/n[) est un contre exemple...

Puis je montrer autrement que par le lemme de Zorn, si elle a lieu, l'existence d'élément maximaux ?

[Tiky]

Bonjour,

Un ensemble ordonné est inductif si toute partie totalement ordonnée de cet ensemble admet un majorant. Il n'y a pas de raison que ce majorant soit un élément de la partie en question.

[invite332de63a]

Oh j'avais lu un max -_-'

Bon ben merci ca achève ma démonstration

[A voir en vidéo sur Futura]

[Seirios]

Pourquoi utiliser le lemme de Zorn, alors qu'utiliser les composantes connexes semblent suffisant ?

[invite332de63a]

Bonjour, je n'ai pas fait énormément de topologie, et le lemme de Zorn m'est revenu en esprit. Peux tu développer un peux plus ce que tu suggères?

[Seirios]

En fait je parlais de connexité et non de convexité Mais tu peux tout de même de passer de l'axiome du choix : si tu notes, pour , comme l'ensemble des tels qu'il existe un segment dans A reliant x et y, alors est un élément maximal de .

[invite332de63a]

Bonjour, je crois que tu t'es trompé, cet ensemble n'est à priori en aucun cas convexe, il est juste si je ne me trompe pas , étoilé en x, mais cet ensemble étoilé alors je pense que l'on peut en conclure qu'il contient tous les éléments maximaux de C(A) contenant x

[Seirios]

C'est exact, ce que j'ai écrit n'est pas correct.

Je me demande tout de même si l'on est obligé d'utiliser le lemme de Zorn pour parler de composante convexe.

[invite332de63a]

Je ne sais pas, je sais que c'est un gros outil, mais je ne vois pas comment contourner les difficultés autrement...