bijection composée

[invitef5370a96]

bonjour,

si fog (ou gof) est bijective, peut on alors dire que f et g sont bijectives ?

je pense que oui vu que si fog bijectve alors on peut écrire (fog)^-1 soit g^-1*f^-1...donc f et g ont l'air d'être bijectives...mais je comprend pas vraiment pourquoi à vrai dire:s


merci bcp de votre éclairage !
-----

[invite57a1e779]

Je considère l'ensemble E des polynômes à une indéterminée X et à coefficients réels.

Les applications : et ne sont pas bijectives, mais la composée est bijective.

[invite705d0470]

Malheureusement non :/
Par contre, si fog est bijective, on peut dire que f est surjective et g injective.
Regarde par exemple et .
On a clairement , mais aucune des deux n'est bijective !
(il existe beaucoup de contre exemples)

[invitef5370a96]

ok merci je vois...mais danc ce cas, pourquoi on a le droit d'écrire g^-1 ou f^-1 si elles ne sont pas biectives ??:°

[A voir en vidéo sur Futura]

[invitef5370a96]

d'ailleurs,

Snowey, tu voulais pas plutot dire que g(x)=(x,y) (et nn pas g(x,a) ?)

Breath, pourquoi f(P) n'est pas bijective ? (il existe bien un seul P tq Q=XP ?)

merci encore=)

[invite705d0470]

Non
G ne dépend que de x.

[invite03f2c9c5]

Malheureusement non :/
Par contre, si fog est bijective, on peut dire que f est surjective et g injective.
Regarde par exemple et .
On a clairement , mais aucune des deux n'est bijective !
(il existe beaucoup de contre exemples)

C'est . D’où l’incompréhension de heleneln je suppose… (Sinon, l’exemple est très bon !).

[invitef5370a96]

oui en effet, c'est OK pour ça merci

par contre je comprends pas cmt on a f(P)=XP, f bijective chez GOD'S BREATH....(il existe pas un unique antécédent à chq fois ?)

[PlaneteF]

f(P)=XP, (...) (il existe pas un unique antécédent à chq fois ?)

Prends le polynôme P(X)=1 par exemple. Il n'a pas d'antécédent du tout !

[invite705d0470]

Oui excusez moi !!
Pour continuer, écrire la réciproque d'une fonction est vivement déconseillé si on ne sait pas qu'elle est bijective !
Dans mon exemple, f projette un espace produit sur R, donc par cinstruction on a un manque d'injectivite (si on voulais revenir en connaissant x, on ne pourrait pas car il est impossible de déterminer le second élément du couple, i.e on a le choix entre a et b). À l'inverse, avec g on essaie de "remonter" en partant des réels. Mais il faut obligatoirement choisir l'endroit d' arrivée (manque de surjectivite) , et j'ai choisi arbitrairement la composante a.
Par contre, en composant dans le bon sens ( ) on trouve l'identité !

Quant à la fonction f de God's Breath, elle n'est pas surjective (mais bien injective): tous les polynômes n'ont pas 0 pour racine

Amicalement, Snowey

[PlaneteF]

ok merci je vois...mais danc ce cas, pourquoi on a le droit d'écrire g^-1 ou f^-1 si elles ne sont pas biectives ??:°

Mais où as-tu vu qu'on avait le droit d'écrire f^-1 pour f non bijective ?

[invitef5370a96]

merci à tous j'ai bien pigé pour la fonction de god's breath, je pensais que j'étais dans l'ensemble d'arrivée R((X)) donc forcément...il suffit de prendre un autre ensemble^^

Pour f^-1, c'est en développant (fog)^-1 = g^-1o f^-1 mais en fait peut être tout simplement que j'ai pas le droit tant que je sais pas leur bijectivité (?^^) respective...

[PlaneteF]

Pour f^-1, c'est en développant (fog)^-1 = g^-1o f^-1 mais en fait peut être tout simplement que j'ai pas le droit tant que je sais pas leur bijectivité (?^^) respective...

La formule que tu donnes est énoncée précisément de la manière suivante :

Soient et deux bijections. Alors est une bijection et

[invitef5370a96]

entendu merci !!