intégrale de x^n/(1+x²) dx

[invite2797dd37]

Bonjour tout le monde !

Alors voilà je bloque complétement sur l'intégrale entre 0 et 1 de x^n/(1+x²) dx

Quoi que j'intègre, en faisant une intégration par partie, je me retrouve toujours bloquée, donc si jamais quelqu'un pouvait m'aider s'il vous plaît !

Merci d'avance !
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[gg0]

Bonjour.

Si tu appelles , tu peux voir que I_n se calcule en fonction de I_n-2 car .
Autre piste possible : Poser x=tan(u) et remarquer que 1+x² s'exprime en fonction de cos(x).
Plus simple encore : diviser. Il y a intérêt à séparer les cas n pair et n impair

Dans les trois cas, une expression compliquée, et deux formules différentes suivant la parité de n.

Cordialement.

[gg0]

Deux rectifications (merci Amanuensis) :


Et

[invite2797dd37]

D'accord, merci beaucoup !
Donc finalement faut trouver une sorte de relation de récurrence ?

[A voir en vidéo sur Futura]

[gg0]

Oui,

ou faire un changement de variable, ou exprimer directement la décomposition en éléments simples. Je t'ai proposé trois méthodes, regarde-les et choisis celle qui te plaît le mieux.

Cordialement.

Pour la décomposition en éléments simples, le plus simple est de diviser une puissance paire, donc laisser un x si n est impair.

[invite2797dd37]

Je vais essayer alors !
Encore merci !