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Petit défi d'arithmétique



  1. #1
    Seirios

    Petit défi d'arithmétique


    ------

    Bonjour à tous,

    Voici un petit défi d'arithmétique : Montrer que pour tout , divise . Montrer plus généralement que pour tout , divise .

    On m'a montré une preuve assez originale de ces résultats, pas forcément évidente à trouver (disons que, comme toujours, il faut y penser). L'idée pour la deuxième assertion nécessite un petit quelque chose qui n'est pas forcément très connu (au moins des étudiants en licence, même si ce n'est pas d'une grande complexité).

    Mais je serais curieux de voir par quelles autres méthodes vous pourriez arriver à ces résultats

    Bonne chance,
    Seirios

    -----
    If your method does not solve the problem, change the problem.

  2. Publicité
  3. #2
    Tiky

    Re : Petit défi d'arithmétique

    Bonjour,

    Une solution pour le premier problème sauf erreur :
     Cliquez pour afficher

  4. #3
    Médiat

    Re : Petit défi d'arithmétique

    Sauf erreur de ma part la deuxième formule est fausse pour m = 3 et n = 2

    (3 + 2) ! = 5! = 120
    3!²2 = 36 * 2 = 72 qui ne divise pas 120.

    Peut-êtr ai-je mal compris la formule ...
    Je suis Charlie.
    J'affirme péremptoirement que toute affirmation péremptoire est fausse

  5. #4
    silk78

    Re : Petit défi d'arithmétique

    Sinon pour la première : . L'interprétation combinatoire (ou une quelconque construction prouvant qu'il est entier) du coefficient binomial permet alors de conclure.

    Silk
    Dernière modification par silk78 ; 24/06/2012 à 19h10.

  6. A voir en vidéo sur Futura
  7. #5
    Seirios

    Re : Petit défi d'arithmétique

    Citation Envoyé par Tiky Voir le message
    Une solution pour le premier problème sauf erreur :
     Cliquez pour afficher
    C'est la solution que l'on m'avait donnée.

    Citation Envoyé par Médiat Voir le message
    Sauf erreur de ma part la deuxième formule est fausse pour m = 3 et n = 2

    (3 + 2) ! = 5! = 120
    3!²2 = 36 * 2 = 72 qui ne divise pas 120.

    Peut-êtr ai-je mal compris la formule ...
    J'ai effectivement fait une faute de frappe : montrer que divise .

    Citation Envoyé par silk78 Voir le message
    Sinon pour la première : . L'interprétation combinatoire (ou une quelconque construction prouvant qu'il est entier) du coefficient binomial permet alors de conclure.
    Effectivement, je ne l'avais pas remarqué
    If your method does not solve the problem, change the problem.

  8. #6
    God's Breath

    Re : Petit défi d'arithmétique

    Citation Envoyé par Seirios Voir le message
    J'ai effectivement fait une faute de frappe : montrer que divise .
    Bonjour,

    Il suffit — ce me semble — de mettre au point une petite récurrence à partir de:

    Et Dieu, dans sa colère, pour punir les humains, envoya sur la Terre les mathématiciens.

  9. Publicité
  10. #7
    Amanuensis

    Re : Petit défi d'arithmétique

    Citation Envoyé par Seirios Voir le message
    J'ai effectivement fait une faute de frappe : montrer que divise .
    Même démo que pour l'autre avec E1xE2x...xEn, chacun de m éléments, non ? (Groupe de permutations consistant à permuter les ensembles et chacun d'eux indépendamment.)
    Pour toute question, il y a une réponse simple, évidente, et fausse.

  11. #8
    Médiat

    Re : Petit défi d'arithmétique

    On peut reprendre l'idée de silk78, en considérant n sous-ensembles à m éléments et le sous-groupe des permutations qui globalement font correspondre un de ses sous-ensembles à un autre, suivi d'une permutation dans le sous-ensemble résultat.
    Dernière modification par Médiat ; 25/06/2012 à 13h32. Motif: Orthographe
    Je suis Charlie.
    J'affirme péremptoirement que toute affirmation péremptoire est fausse

  12. #9
    Amanuensis

    Re : Petit défi d'arithmétique

    Belle reformulation de ce qui a été proposé 9' plus tôt...
    Pour toute question, il y a une réponse simple, évidente, et fausse.

  13. #10
    Médiat

    Re : Petit défi d'arithmétique

    "Belle" est outrageusement flatteur, par contre il s'agit d'une formulation, et non d'une reformulation, en effet, je ne me sens pas obligé de lire vos posts avant de répondre.
    Je suis Charlie.
    J'affirme péremptoirement que toute affirmation péremptoire est fausse

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