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théorème de Cartan



  1. #1
    alovesupreme

    théorème de Cartan


    ------

    Bonjour,
    Il y a plusieurs théorèmes de Cartan
    pourriez vous regarder ce lien: cartan
    C'est celui sur les poids qui m'intéresse.
    Il s'établit une bijection entre racines simple et poids fondamentaux la matrice de Cartan étant la matrice de passage des uns vers les autres.
    Pourriez vous me faire comprendre pourquoi?

    -----

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  3. #2
    0577

    Re : théorème de Cartan

    Bonsoir,

    Soit g une algèbre de Lie semi-simple, fixons h une sous-algèbre de Cartan et b une sous algèbre de Borel.
    On peut alors parler de racines, de racines positives,simples, on a un ordre partiel sur h*...

    J'appellerai poids (sans guillemet) un poids d'une représentation de g, c'est un
    élément du dual h*.
    J'appellerai "poids" (avec guillemets) un élément du réseau de h* engendré par la base
    duale de la base de h formée par les coracines simples. Si on appelle "poids fondamentaux" la base du
    réseau des "poids" formée par les duaux des coracines simples, alors on a exactement la bijection
    que vous indiquez.

    Tout le problème est de comprendre le lien entre les poids et les "poids".
    Le théorème central de la théorie des représentations des algèbres de Lie
    semi-simples (qui est en gros le théorème de Cartan du lien) dit que les plus haut poids
    des représentations irréductibles de dimension finie de g sont exactement les éléments
    du réseau des "poids" qui sont combinaisons linéaires à coefficients entiers positifs
    des "poids fondamentaux" (i.e les "poids dominants").

    Comment comprendre ce résultat ?

    Il est essentiel de comprendre le cas de sl(2) (=su(2)) : on peut classifier à la main les représentations
    irréductibles de dimension finie de sl(2) et vérifier le résultat.

    Le cas général s'en déduit : le théorème de structure des algèbres de Lie semi-simple décrit
    explicitement g. En particulier, si r est le rang de g, alors g contient r copies de sl(2).
    sl(2) est la brique élémentaire permettant de construire toutes les algèbres de Lie semi-simples !
    (bien sûr, toute la difficulté est de comprendre le lien entre les différentes briques, ce qui est
    exactement codé par la matrice de Cartan). Déduire le cas général du cas de sl(2) n'est pas si
    évident : un sens est clair (une représentation de g est en particulier une représentation de ses
    blocs sl(2) : un plus haut poids d'une représentation irréductible de dimension finie est donc un
    "poids dominant"). L'autre sens n'est pas si facile.

  4. #3
    alovesupreme

    Re : théorème de Cartan

    Merci pour cette longue réponse.
    pa première question est très calculatoire:
    comment à partir du fait que

    ou lambda est un poids fondamental déduit on que
    (sommation)
    Où A_ij est la matrice de Cartan.
    Et en deuxième comment s'énonce (en rapport avec ceci) le théorème de Cartan. Avez vous un lien pour sa démonstration?.
    Merci.

  5. #4
    0577

    Re : théorème de Cartan

    La question calculatoire ne contient pas de difficulté. Il suffit
    d'écrire les définitions et de ne pas s'embrouiller avec tous les duaux...
    : racines simples, : coracines simples.
    Si les vérifient
    (*)
    (il doit manquer un 2 dans votre message), cela signifie que
    i.e les forment la base duale des .
    Quelles sont les coordonnées des dans cette base ? Les d'où

    (i et j inversés dans votre message?).

    La chose non-évidente (théorème de Cartan tel qu'énoncé dans votre lien) est que les poids
    dominants (au sens des représentations) sont exactement les combinaisons linéaires à coefficients entiers
    positifs des définis par (*) (i.e dans le langage de mon premier message, que les poids fondamentaux sont les "poids fondamentaux").

    Après une recherche google, je crois que http://www.math.jussieu.fr/~polo/M2/IntroLie07-sem5.pdf contient une démonstration. Je ne sais pas si c'est une référence très "lisible"

  6. #5
    alovesupreme

    Re : théorème de Cartan

    Je ne suis effectivement pas très familier avec les coracines.
    j'imprime la réponse et je m'y mets.
    Encore merci.

  7. A voir en vidéo sur Futura
  8. #6
    alovesupreme

    Re : théorème de Cartan

    En fait j'avais négligé les coracines car malgré leur nom j'avais vu 2a/a^2 et considéré que c'était dans le meme espace vectoriel que la racine a (une normalisation). Au lieu de penser que c'était dans un dual. Il n'y aurait pas une meilleure notation?

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  10. #7
    0577

    Re : théorème de Cartan

    Une meilleure notation pour quoi ?

    Remarque : on peut voir les coracines dans le même espace que les racines si on identifie h
    avec son dual grâce au produit scalaire <,>.
    On peut faire ce qu'on veut à condition de savoir ce qu'on fait ...

  11. #8
    alovesupreme

    Re : théorème de Cartan

    On a la même chose avec les distributions. Regarde la "fonction" de Dirac en fait c'est une forme linéaire sur des fonctions. On peut bien sur faire ce qu'on veut mais combien de lecteurs de physique on été induit en erreur par une notation ou même par le terme "fonction" de Dirac.
    Ceci dit j'ai bien compris ton explication et elle me convient parfaitement.

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