Calcul de Cartan

[Lévesque]

Bonjour,

j'essai de me familiariser avec le calcul de Cartan.

Y aurait-ils ici des connaisseurs (j'attends avant de poser mes questions)?

Auriez-vous des exemples de calcul pour voir un peu comment ça marche?

Cordialement,

Simon
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[Lévesque]

Bonjour,

voilà une question: dans tous les livres que j'ai sous la main, la dérivée extérieur est toujours appliquée à des p-formes. Donc, à des "tenteurs" totalement antisymétriques. Je me demande comment (ou si on peut) appliquer cette dérivée extérieur sur un tenseur général (pas nécessairement antisymétrique)?

Merci,

Simon

[Lévesque]

Dans le (petit) livre de Misner Thorne et Wheeler, j'ai trouvé que la dérivée extérieure d'un champ vectoriel est



Ce qui m'intéresse, c'est la dérivée extérieure d'un tenseur de type (p,q). Pour l'instant, disons, je me contente du type (p,0), qui peut être écrit par le produit tensoriel de vecteurs. Disons que j'ai , la dérivée extérieur doit être (si j'ai le droit de faire ça, j'en ai aucune idée!!!)

(?),

où (?), et , avec .

Et donc, en gros,





,

Ce qui ressemble drôlement à une DÉRIVÉE COVARIANTE ???

[Lévesque]

Je continue.. j'ai pas trop espoir d'avoir de l'aide, mais bon, si je réussi à m'aider tout seul, ça aidera peut-être quelqu'un un jour...

Étant donné que passer de à

(1)

est très intuitif, je suis tout à fait perdu lorsqu'on passe de (1) à

,

puisque des petits légumes (wedge, prononcé vedge, diminutif de légume en anglais) apparaissent, sans trop savoir pourquoi?

Quelqu'un sait d'où ils viennent?

Merci

Simon

[A voir en vidéo sur Futura]

[G13]

Bonjour,
Je ne sais pas si ca peut t'aider mais, a l'adresse ci-dessous, il y a un bon cours de geometrie riemannienne:
http://www.math.u-psud.fr/~pansu/web...me_dea_04.html

[Rincevent]

salut,

Je me demande comment (ou si on peut) appliquer cette dérivée extérieur sur un tenseur général (pas nécessairement antisymétrique)?

la dérivée extérieure est une opération définie sur l'algèbre de Grassman et pour laquelle celle-ci est stable : la dérivée extérieure d'une forme est une forme (même si pas de même degré). Elle n'est donc pas définie pour un tenseur quelconque. En outre, ce n'est pas une dérivation (elle n'obéit pas à la règle de Leibniz) mais une antidérivation. A lire tes écrits je pense que ça te ferait pas de mal de relire les bases sur ça...

[Le fait qu'elle ne porte que sur les formes est important car celles-ci jouent un rôle crucial dans la définition de l'intégrale sur une variété. La dérivée extérieure est en quelque sorte l'inverse de l'intégration.]

Pour ce qui est de l'apparition des légumes, bah en fait ils étaient déjà là dans (1)... sous forme de graines

la forme correcte de (1) c'est



v est regardé comme une forme à valeur dans l'espace de Minkowski (c'est également le cas des vecteurs de bases). v^\mu est donc une 0-forme (un bête nombre) et on peut zapper le deuxième légume par abus de notation. Mais le premier légume, je vois pas comment tu peux le zapper sans tomber dans le difficilement lisible... j'ai pas le MTW sous la main mais ils écrivent vraiment ça comme ça? et ils disent quoi sur la nature de v ? car à moins que v soit pas considéré comme appartenant à l'espace auquel je pense qu'il appartient, je crois qu'il manque des légumes

quand tu passes à d^2 v, tu dois utiliser la règle d'algèbre graduée (presque Leibniz mais pas tout à fait). Regarde par exemple ça :

http://en.wikipedia.org/wiki/Exterior_derivative

tu arrives au résultat voulu, mais j'avoue qu'il me laisse perplexe dans la façon dont il est écrit : il manque encore des légumes...

[edit] croisement avec une réf qui a l'air sympa

[Lévesque]

En outre, ce n'est pas une dérivation (elle n'obéit pas à la règle de Leibniz) mais une antidérivation. A lire tes écrits je pense que ça te ferait pas de mal de relire les bases sur ça...

Oui, je fais mes premiers pas. Il ne faut pas m'en vouloir de tomber, il faut seulement m'aider à me relever

le premier légume, je vois pas comment tu peux le zapper sans tomber dans le difficilement lisible... j'ai pas le MTW sous la main mais ils écrivent vraiment ça comme ça? et ils disent quoi sur la nature de v ?

C'est à la page 350.

Merci beaucoup,

Je me complique trop la vie je crois, la prof nous a dit de pas trop jouer avec ça que ce serait pas à l'examen... Je suis vraiment désobéissant

Simon

OH! Et merci aussi pour la ref G13, ça a l'air vraiment bien (avec des corrigés!!)

[Rincevent]

Il ne faut pas m'en vouloir de tomber, il faut seulement m'aider à me relever

je disais pas ça pour chercher à t'enterrer

c'est juste que "rien ne sert de courir, il faut..."

Je me complique trop la vie je crois,

bah en fait j'ai fait pareil ici [ce que je te racontais s'appliquait à l'équation en haut de page, mais là on part de plus basic]

ton vecteur initial est pas considéré comme une forme du tout. Du point de vue de l'algèbre de Grassmann, c'est un scalaire (une 0 forme). Pour un produit de 0-formes, la dérivée extérieure te donne une 1-forme que tu obtiens en appliquant la règle de Leibniz (car (-1)^0 = +1).

Après, ils arrangent l'écriture pour mettre dv sous la forme d'une 1-forme à valeur vectorielle. En clair, dans (14.16) tu as un vecteur e que multiplie une 1-forme qui fait intervenir omega et dv. Si tu veux calculer la dérivée extérieure de cette 1-forme, faut que tu utilises la règle pour l'antidérivation rappelée dans le lieu wiki que j'ai indiqué en oubliant pas que le vecteur est une 0-forme. Et après quelques manipulations d'indices tu trouves bien le résultat annoncé qui est une 2-forme à valeurs vectorielles.