fof(X)-X se factorise par f(X)-X

[invite46e41aed]

Bonsoir,
J'ai une question se rapportant aux polynômes. Dans mon cours je vois que si f appartient à K[X], fof(X)-X se factorise par f(X)-X. Pour moi c'est plutôt le contraire dans la mesure où :
Soit g l'application associée au polynôme f si t est fixe pour g alors t est aussi fixe pour gog.
Merci d'avance pour vos lumières.
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[Tiky]

Bonsoir,

Dire que se factorise par dans , c'est dire qu'il
existe un polynôme tel que .

Donc si vérifie , alors .

Tu travailles sur un corps (commutatif ?), tu disposes donc d'une division euclidienne dans . On sait qu'il existe tels que :

Avec

Je te laisse conclure.

[Tiky]

Il faut aussi supposer que f(X) n'est pas le monôme X car sinon on ne peut pas faire la division euclidienne. Le résultat est trivial si f(X) = X.

[invite46e41aed]

Merci beaucoup, j'avais pas du tout vu la question de ce point de vue.
Cordialement Arthur.

[A voir en vidéo sur Futura]