Théorème de représentations conformes de Riemann

[Elie520]

Bonsoir à tous,

Je ne sais pas si c'est exactement le bon endroit pour le faire, mais je voudrais juste poster ici un pdf écrit de ma main sur le Théorème de représentations conformes de Riemann.
C'est un dossier que j'ai du rédiger pour un concours donc tant qu'à faire, je le post ici parce que lors de ma documentation, je sais que j'ai eu beaucoup de mal à trouver la preuve assez simplement, elle était bien souvent incluse dans un morceau de théorie plus complet, ne traitant pas spécifiquement de ce théorème, il a donc fallu "recoller les morceaux" et en faire quelque chose de presque suffisant, d'autonome.
Prérequis : programme de Maths spé, surtout sur les séries entières.
J'ai quand même dû admettre une propriété (théorème de Poincaré dans un ouvert connexe non forcément étoilé) et affaiblir une hypothèse quelque part.
En espérant que la lecture vous plaise et que vous m'enverrez vos impressions, conseils, questions, histoire que j'en apprenne un peu plus sur ce sujet !

Théorème de Riemann.pdf

Cordialement.
Elie520
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[Elie520]

J'ai quand même dû admettre une propriété (théorème de Poincaré dans un ouvert connexe non forcément étoilé)
Elie520

Edit 1 : [...] dans un ouvert SIMPLEMENT connexe [...]
Edit 2 : Seulement une partie (la plus dure) de la preuve a été admise.

[Médiat]

Bonjour,

Après qu'une discussion se soit développée sur votre document, il me paraît être un bon candidat pour apparaître là (si vous en êtes d'accord) :
http://forums.futura-sciences.com/ma...forumeurs.html

[Médiat]

Bonjour à tous,

Il serait intéressant que des connaisseurs du domaine se manifestent pour applaudir ou faire des critiques constructives, ou apporter des compléments.

[A voir en vidéo sur Futura]

[Arkhnor]

Bonjour.

Je n'ai pas lu tout en détail, j'ai juste survolé les preuves histoire de voir l'idée générale.

Quelques remarques :

- Proposition 7 : Pourquoi ne pas utiliser le fait qu'une fonction holomorphe est développable en série entière ? Ce résultat a été démontré auparavant, ce qui permet d'éviter le lemme de Poincaré pour les convexes (dont la preuve utilise la proposition 8 qui suit, ou du moins l'idée de sa preuve ...)

- Dans la démonstration de l'analycité des fonctions holomorphes, tu dis que tu traites uniquement le cas C1 pour éviter de recourir à la théorie des formes différentielles. Mais tu utilises par la suite cette théorie dans ton poly. Donc je ne comprends pas très bien ce point de vue un peu "schizo". (c'est une remarque volontairement naïve, je sais que la preuve de ce fait est relativement délicate et qu'on peut la passer sous le tapis, d'ailleurs nombre de livres ne se privent pas de le faire)
Il y a une coquille il semblerait, lorsque tu dis que f est C1.

- Proposition 10 : Tu dis que si f(z)/z atteint 1 en module, alors elle est constante et que ça découle d'un DL. C'est exactement le principe du maximum que tu n'as pas hésité à appliquer auparavant, et dont la preuve me semble difficilement résumable à un simple DL. (la preuve classique utilise la formule de Cauchy, mais il y a une preuve qui utilise l'analycité, mais les deux ne sont pas complètement triviales)

- Après l'énoncé du théorème de Riemann, ça serait bien de dire que si deux ouverts sont conformément équivalents, alors ils sont homéomorphes. Ca permet d'obtenir un résultat purement topologique (deux ouverts simplement connexes du plan sont homéomorphes), dont la preuve introduit une théorie extérieure à la topologie. (l'analyse complexe)
C'est d'ailleurs l'esprit de ton introduction, où tu dis que tu vas introduire les fonctions holomorphes avec pour but de démontrer un énoncé où elles n'apparaissent pas a priori.


Quelques pistes pour approfondir le sujet :

- il existe une preuve, due à Koebe, où on n'utilise pas d'argument de compacité (existence d'une sous-suite), et où la construction de la bijection conforme est "constructive". On peut trouver ça dans le livre de P. Vogel "Fonctions analytiques".

- la question naturelle qui se pose une fois qu'on a montré qu'un ouvert U est conformément équivalent au disque unité, c'est de se demander si la bijection conforme se prolonge en un homéomorphisme de l'adhérence de U sur le disque unité fermé. Il y a par exemple un résultat de Carathéodory qui donne des conditions suffisantes sur la géométrie du bord de l'ouvert pour que ce soit vrai.

[Elie520]

- Proposition 7 : Pourquoi ne pas utiliser le fait qu'une fonction holomorphe est développable en série entière ? Ce résultat a été démontré auparavant, ce qui permet d'éviter le lemme de Poincaré pour les convexes (dont la preuve utilise la proposition 8 qui suit, ou du moins l'idée de sa preuve ...)

L'idée était de faire remarquer que f(z)dz est fermée, ce qui est nécessaire pour montrer l'existence de primitive globale, mais votre point de vu me plaît effectivement bien sur ce détail.
Par ailleurs (argument peu solide ), le théorème de Poincaré dans un ouvert étoilé est au programme de Spé, donc cela ne me paraissait pas gênant, mais ca rend effectivement le fichier moins autonome.

- Dans la démonstration de l'analycité des fonctions holomorphes, tu dis que tu traites uniquement le cas C1 pour éviter de recourir à la théorie des formes différentielles. Mais tu utilises par la suite cette théorie dans ton poly. Donc je ne comprends pas très bien ce point de vue un peu "schizo". (c'est une remarque volontairement naïve, je sais que la preuve de ce fait est relativement délicate et qu'on peut la passer sous le tapis, d'ailleurs nombre de livres ne se privent pas de le faire)
Il y a une coquille il semblerait, lorsque tu dis que f est C1.

Tout simplement parce que quand je dis que je n'utilise pas la théorie des formes différentielles, c'est plus ou moins vrai car ce que j'en utilise est très élémentaire (ce qui n'aurait d'ailleurs pas été le cas si je montrais la proposition 9). Faire la démonstration complète de l'analycité requièrerait de parler de l'indice d'une coubre etc... donc avec cette hypothèse j'ai efectivement me semble-t-il évité un assez gros morceau de théorie (l'histoire peut-etre de 3, 4 pages). D'ailleurs, tant qu'à faire, si j'avais montré le cas général, j'aurais aussi pu montrer la proposition 9.

quelle coquille svp ? c'est fort possible !

- Proposition 10 : Tu dis que si f(z)/z atteint 1 en module, alors elle est constante et que ça découle d'un DL. C'est exactement le principe du maximum que tu n'as pas hésité à appliquer auparavant, et dont la preuve me semble difficilement résumable à un simple DL. (la preuve classique utilise la formule de Cauchy, mais il y a une preuve qui utilise l'analycité, mais les deux ne sont pas complètement triviales)

Je n'hésite pas a appliquer le théorème du maximum quand c'est nécessaire, mais tant qu'à faire ici il suffit de faire un DL. Sinon, j'aurais aussi bien pu utiliser le théorème de l'image ouvert etc... C'était juste parce que cet argument me paraissait simple et suffisant, dans le cas où on a effectivement montré l'analycité (contrairement au principe du maximum).

Vos remarques me pousseraient effectivement à élargir un peu la théorie en parlant du principe du maximum plus en détail, du th de l'image ouverte, des formes différentielles etc... mais mon but était justement ici de ne pas rejoindre le schéma souvent observé dans les livres, dans lequel le théorème de riemann n'est qu'une conséquance du reste, c'est ici le BUT du fichier, l'objectif est donc de s'en rapprocher au plus vite, sans chercher, au premier abord, un vision complète de la chose. Sinon, j'aurais juste "recopié" un cours d'analyse complexe.

- Après l'énoncé du théorème de Riemann, ça serait bien de dire que si deux ouverts sont conformément équivalents, alors ils sont homéomorphes. Ca permet d'obtenir un résultat purement topologique (deux ouverts simplement connexes du plan sont homéomorphes), dont la preuve introduit une théorie extérieure à la topologie. (l'analyse complexe)
C'est d'ailleurs l'esprit de ton introduction, où tu dis que tu vas introduire les fonctions holomorphes avec pour but de démontrer un énoncé où elles n'apparaissent pas a priori.

J'aurais effectivement pu faire remarquer que cela impliquait que deux ouverts simplement connexes sont homéomorphes, en utilisant pour le cas du plan complet, je ne sais pas pourquoi mais je ne m'en sentais pas l'envie lors de la rédaction.

Quelques pistes pour approfondir le sujet :

- il existe une preuve, due à Koebe, où on n'utilise pas d'argument de compacité (existence d'une sous-suite), et où la construction de la bijection conforme est "constructive". On peut trouver ça dans le livre de P. Vogel "Fonctions analytiques".

Je ne connais pas, je regarderai merci.

- la question naturelle qui se pose une fois qu'on a montré qu'un ouvert U est conformément équivalent au disque unité, c'est de se demander si la bijection conforme se prolonge en un homéomorphisme de l'adhérence de U sur le disque unité fermé. Il y a par exemple un résultat de Carathéodory qui donne des conditions suffisantes sur la géométrie du bord de l'ouvert pour que ce soit vrai.

Lire le paragraphe "généralisation" a la fin de l'article, c'est écrit.




En Bref, merci beaucoup pour vos remarques et vos réactions. A bientôt !

Elie520

[Arkhnor]

quelle coquille svp ? c'est fort possible !

Il n'y en a pas, je n'avais pas compris au début la notation .

Je n'hésite pas a appliquer le théorème du maximum quand c'est nécessaire, mais tant qu'à faire ici il suffit de faire un DL. Sinon, j'aurais aussi bien pu utiliser le théorème de l'image ouvert etc... C'était juste parce que cet argument me paraissait simple et suffisant, dans le cas où on a effectivement montré l'analycité (contrairement au principe du maximum).

Je pense que je n'ai pas compris l'argument du DL dans ce cas. Et dans le reste de la démonstration, le cas où f'(0) n'est pas traité ?

Lire le paragraphe "généralisation" a la fin de l'article, c'est écrit.

Je n'avais pas remarqué la dernière page ...

Autre chose : dans la définition d'holomorphie, pourquoi ne pas écrire complètement la définition (avec la limite du taux d'accroissement), plutôt que de seulement dire "dérivable au sens complexe". Ca me parait plus clair pour quelqu'un qui n'a jamais rencontré ça auparavant, et ça permet aussi d'insister sur le fait que le h est complexe dans la limite.

Et bien sur, bravo pour le pdf, très agréable à lire et très clair.

[Elie520]

Vous avez sûrement raison pour la définition par le taux d'accroissement !! Manque de pédagogie évident

Pour ce qui est du DL, il faudrait pouvoir faire un dessin, mais je vais tenter dexpliquer comme ca.
On suppose que f atteint son max en module en zéro.
On se place en zero pour simplifier les notations. Par analycité, quitte a normaliser : il existe p non nul tel que : où g est continue et nulle en zéro. Donc il existe a>0 tel que : pour tout . Alors supposons que (on a bien ou alors f est nulle).

Alors pour assez petit, on a une contradiction en regardant . (Faire un dessin).

Mais c'est vrai que si c'est pas le principe du maximum, qu'est-ce que c'est... ?

[Seirios]

Bonjour,

Une petite question qui n'est pas reliée directement au document : Une fonction différentiable conforme est-elle nécessairement holomorphe ?

[invite57a1e779]

Bonjour,

Si l'application est conforme, alors, en tout point, sa différentielle conserve les angles orientés et est donc une similitude directe : l'application est holomorphe.
On doit trouver facilement ce résultat dans la littérature.

[Elie520]

Dans le sens où conforme signifie à différentielle C-linéaire (ou encore avec comme différentielle une similitude), c'estr exactement l'autre formulation de la proposition 1. On pourrait trouver des dizaines de formulations équivalents en fait

[Seirios]

Pour ma part, par conforme j'entendais "qui préserve les angles". Si la transformation est différentiable, alors on peut effectivement montrer que la différentielle est une similitude directe et donc que l'application est holomorphe.

Par contre, existe-t-il des transformations préservant les angles mais qui ne soient pas holomorphes ? En fait, je ne sais même pas si la question a un sens, puisque je définis la concervation des angles via la différentielle de l'application...