Résoudre cette EDP est possible ?

[invite9c7554e3]

Bonjour tous,
récemment, j'ai procédé à la résolution d'une EDP. Le soucis c'est qu'à présent mon problème à un peu changé et je ne vois pas trop comment faire pour adapter la résolution.
Tout d'abord, je vais vous expliquer comment la première résolution est effectuée et quels sont mes problèmes à présent.
0°) Tout d'abord, voici mon problème :
je veux résoudre l'équation suivante (eq. de la chaleur avec symétrique sphérique) avec "r" ma variable spatiale :

-> et comme domaine de variation pour r : (ou éventuellement pour remplacer l'infini si ça pose problème : avec très grand)
-> les conditions limites sont pour ces deux bornes :
pour on a et pour on a

1°) La résolution dans le cas "simple"
Ici, pour ce problème ma condition initiale est très facile : j'ai qui est une constante et qui ne dépend pas de l'espace.

Du coup, il est possible de faire le changement de variable suivant (qui est classique apparemment) :

et qui donne cette nouvelle EDP super facile à résoudre :

À présent en prenant la transformée de Laplace de cette relation j'ai :

et si pour l'intégration de droite je fais une intégration par partie et ,
je tombe sur :

Ce qui donne :
mais le dernier terme vaut zéro avec ma condition initiale, d'où le résultat final :

=> ensuite j'ai une EDO "facile" à résoudre et je trouve mon profil de température

2°) Pourquoi ce cas simple ne marche plus pour moi
À présent, j'ai un petit souci, car je me suis rendu compte que je ne peux pas utiliser les résultats qui découlent de la démonstration numéro 1°)
Je m'explique :
la formule sur laquelle je suis tombé avec le résultat 1°) suppose que la condition initiale est la même pour toutes les coordonnées de l'espacemais en réalité (dans mon programme) ce n'est pas vrai !!!
Voici pourquoi :
en fait, tout ceci est à l'intérieur d'un problème couplé que j'ai programmé. Pour un pas de temps je calcule le profil de température grâce à la relation que j'ai trouvée dans le cas 1°), ensuite je mets à jour mon problème (chimique) qui me modifie les conditions limites. Puis je réutilise ma solution pour calculer le nouveau profil de température pour le pas de calcul suivant.

Ceci ne peut pas fonctionner car je ne peux pas réutiliser le résultat trouvé dans 1°) car la condition initiale n'est plus constante ! La condition initiale devient le dernier profil calculé qui dépend de donc

3°) Nouvelle résolution

-- A présent je dois faire exactement la même chose que dans le cas 1°) mais avec comme condition initiale :

Et c'est ici que j'ai besoin de votre aide s'il vous plait

-- Déjà, pensez-vous que ma résolution 1°) peut être rapidement adaptée pour prendre en compte cette condition initiale ? Moi je pense que non car le changement de variable n'est vrai que pour une valeur initiale constante il me semble (pourriez-vous me confirmer ?).
Ensuite, même si ce changement de variable est correct je ne suis pas certain d'arriver à m'en sortir avec ma résolution en transformée de Laplace (car la condition initiale sera à présent : le résultat précédent donnée par la relation en 1°) et qui va venir grandement compliquer la suite, je ne vois même pas comment faire même par la suite...)

-- Si vous pensez comme moi qu'une résolution comme dans 1°) n'est pas possible que me conseillerez-vous comme résolution ? Séparation de variables directement sur l'équation de départ ? Pensez-vous que l'on peut s'en sortir de cette façon ?

Merci d'avance pour votre aide et pour vos conseils (qui me seront très précieux)
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[invitec811222d]

Hello ! Avez vous regardé du côté des méthodes numériques de types différences finies ? Cela me semble bien adapté à votre problème.

Par curiosité, de quel problème physique est issue cette EDP ?

[invite9c7554e3]

merci de ta réponse.
je connais les différences finies mais en fait ici je cherche une solution analytique.
En fait je pense qu'il doit y avoir une solution car avec une condition initiale constante j'ai trouvé une solution. mon problème est lorsque la condition initiale dépend de l'espace

ps: c'est de la thermique couplé avec de la chimie

[invite9c7554e3]

finalement j'ai ceci à résoudre


avec des conditions limites constantes
1°)
2°)
(si l'infini est un problème je peux choisir avec x une valeur importante

et la condition initiale :


pourriez vous me conseiller dans le choix de la méthode à adopter : celle qui s'adapte le mieux a ce problème :

=> separation de variable ?
=> transformée de Laplace/Fourier ?

[A voir en vidéo sur Futura]