Matrice d'une forme quadratique q

[invite862ed6d7]

Bonjour tout le monde !

Alors me voila devant un problème qui me pose... problème. C'est une matière d'il y a 3 ans et je suis complètement bloqué pour ces deux questions ! J'ai essayé de m'y retrouver dans mes bouquins mais je me suis fait peur J'ai l'impression d'avoir tout oublié !

Est-ce que vous pourriez m'aider à le résoudre svp ? Je vous remercie d'avance pour toutes personne prenant la peine de lire ce message.


-4 -2 -4
-2 -1 4 = A = Matrice d'une forme quadratique
-4 4 -4

question 1 : déterminer q(x,y,z)
question 2 : donner une forme réduite de q et en déduire la signature de q
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[invitec3143530]

1) q(x,y,z) est obtenu en multipliant la matrice à droite par le vecteur colonne (x,y,z) puis en prenant le produit scalaire du vecteur obtenu avec (x,y,z). Ceci est une conséquence de la définition d'une forme quadratique via les formes bilinéaires et leurs représentations avec des matrices mais tu peux te contenter de l'admettre.

2)Il faut appliquer l'algorithme de réduction des formes quadratiques de Gauss, la signature (p,q) est le nombre p de carrés positives et q de carrés négatifs, si tu as oublié cette réduction, j'ai un document utile :

http://www.math.jussieu.fr/~polo/L2/...70-2012new.pdf paragraphe 5.2.2

[invite862ed6d7]

Bonjour Linkounet ! Merci de ta réponse mais malheureusement les choses ne sont pas plus clair pour moi à ce niveau là J'ai du être malade pendant que le prof parlait de ce chapitre il y a trois ans.

Est-ce que ce serait possible de me donner un peu plus de détail pour la solution ? Je me suis renseigné sur le net comme je pouvais mais je suis toujours perdu.

Je remercie d'avance tout ceux qui pourront m'aider !

[Bruno]

La forme matricielle est juste une autre façon d'écrire l'expression de la forme quadratique, càd qu'on cherche à écrire q(x,y,z) de cette façon:



Pour la réduction, c'est juste l'application d'une recette dont l'idée est de regrouper des termes pour en sortir un carré parfait + un reste. Par exemple: . L'explication est peut-être un peu absconse dans le lien de Linkounet, en gros on commence par traiter tous les puis les produits "mixtes" (xy, yz, ...) restants, c'est bien expliqué ici: http://www.math.univ-montp2.fr/~vire...Gauss-2012.pdf (page 2)

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