Intégration dans le plan complexe – Résidus

[coussin]

Salut à tous

Mes notions d'intégration dans le plan complexe sont rouillées
J'ai une fonction f(z) qui a une série de pôles sur l'axe imaginaire. Je choisis de l'intégrer sur un contour comprenant l'axe réel positif + un quart de cercle de rayon R qui va tendre vers l'infini + l'axe imaginaire positif entre les pôles + une séries de petits demi-cercles de rayon epsilon qui va tendre vers 0 pour éviter tous les pôles sur l'axe imaginaire.
Mes petits demi-cercles sont tels que tous les pôles sont en dehors du contour; l'intégrale de f(z) sur ce contour vaut donc 0.
Ma question est la contribution des petits demi-cercles contournant les pôles : est-ce simplement le résidu à ce point ? Ou bien faut-il que les pôles soient dans le contour pour que leurs contribution soit les résidus ?

J'espère avoir été clair Merci d'avance.
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[breukin]

En fait le plus simple, pour trouver la réponse, c'est d'écrire avec allant de à , où est l'ordonnée d'un de vos pôles.
Et d'écrire l'équivalent de au voisinage de , en fonction de l'ordre du pôle.

[invite63e767fa]

Pour chaque DEMI-cercle sur le contour, il faut prendre 1/2 du résidu correspondant au petit cercle entier.
Si le pôle est à un point anguleux du contour et est contourné par un petit arc de cercle (a), il faut prendre la part a/2pi du résidu.
Attention au signe, selon le sens de parcours sur le petit arc de cercle.

[coussin]

Merci pour vos réponses.
Dois-je en conclure qu'il n'y a pas de théorème qui dit ça et qu'il faut regarder au cas par cas ?

[A voir en vidéo sur Futura]

[coussin]

Je profite de ce sujet ouvert

Quand j'ai une fonction qui est en , c'est un pole d'ordre 1 ? Si oui, le résidu est nécessairement 0, n'est-ce pas ?

Merci d'avance

[breukin]

Non, parce que cette fonction n'est pas analytique sur un disque autour de 0.
Cela n'a donc pas de sens de faire une intégrale de contour autour de 0.
Pour qu'elle soit holomorphe, il faut définir une coupure partant de 0 et rejoignant l'infini (par exemple le demi-axe réel négatif), et alors la fonction est analytique sur cet ouvert, et on peut calculer des intégrales de contour dans ce domaine. Mais aucun cercle autour de 0 n'appartient à ce domaine.

[invitebf26947a]

Pour les demis-cercle j'utilise souvent le Lemme de Jordan.

[coussin]

Non, parce que cette fonction n'est pas analytique sur un disque autour de 0.
Cela n'a donc pas de sens de faire une intégrale de contour autour de 0.

Merci de ta réponse En effet, tu as raison…
Je fais une intégration sur un demi-cercle qui évite la coupure et je me posais la question de l'ordre du pole.

[breukin]

Quelle est la définition de l'ordre d'un pôle ?

[coussin]

Euh…
Je pense que c est un pôle d'ordre n de f(z) si lim_z->c (z-c)^n f(z) est finie. Je ne sais pas si c'est la correcte définition

[breukin]

Moi, je dirais finie non nulle.
Et je ne pense pas qu'il y ait un ordre.
Parce qu'on n'est pas dans le cas de l'analycité sur le disque privé de 0.

http://fr.wikipedia.org/wiki/P%C3%B4...C3%A9matiques)

[coussin]

OK merci

[coussin]

Bon bah je continue (Ah la la, c'est pas facile les maths pour un pauvre physicien )

Finalement et pour simplifier un peu, j'ai une fonction f(z) qui a un pôle en w0, w0 réel positif. Pour connaître la « structure de ce pôle », je regarde le comportement de f(z) au voisinage de z=w0. Imaginons des coordonnés polaires (rho,theta) centrées sur z=w0, ma fonction f(z) est en sin(theta)/rho. En particulier, l'axe réel coupe le pôle exactement en deux. Exactement sur l'axe réel, ma fonction f(z) n'a pas de singularité…

Mon contour maintenant : mon contour comprend l'axe réel positif, un quart de cercle de rayon infini et l'axe imaginaire positif. Alors, est-ce qu'il y a un pôle dans mon contour ? J'aurais envie de dire qu'il y a un demi-pôle Est-ce que l'intégrale sur mon contour c'est le résidu en z=w0 ?

Merci d'avance

[breukin]

En particulier, l'axe réel coupe le pôle exactement en deux

Que diable peut vouloir dire "une droite coupe un point en deux". En deux quoi ? En deux points ? Et quelle difference, pour une droite, entre "couper un point exactement en deux" et "couper un point, mais pas exactement en deux" ?

Ma phrase préférée : "les mathématiques ne sont que du français" (en France).

[coussin]

Oui bon…
Mais je pense que vous voyez ce que je veux dire en voyant le comportement en sin(theta)/rho autour du pôle

[breukin]

Non, pas du tout.
Je vois son comportement (elle n'est d'ailleurs pas analytique, puisqu'elle est réelle non constante sur un voisinage, il sera donc difficile de calculer un résidu), mais couper un pôle en deux, cela ne veut rien dire, je n'y peux rien.
Je vois que la fonction est réelle positive dans le voisinage au dessus de l'axe réel, et réelle négative au dessous, mais cela ne donne pas plus de sens à l'expression couper un pôle en deux.

Votre contour n'a aucun sens ("signification", pas "orientation"). Il n'existe pas de quart de cercle de rayon infini.
Un contour doit passer là où la fonction est définie, et sépare le plan en deux parties, une finie, appelée intérieur du contour, et une infinie, appelée extérieur du contour.
Et alors on peut se poser la question de l'existence de pôles à l'intérieur du contour.

[breukin]

Si si, votre point est une singularité (puisque non continue au point considéré). Et la fonction n'est pas analytique. Nul théorème des résidus s'appliquera.

[coussin]

Votre contour n'a aucun sens ("signification", pas "orientation"). Il n'existe pas de quart de cercle de rayon infini.
Un contour doit passer là où la fonction est définie, et sépare le plan en deux parties, une finie, appelée intérieur du contour, et une infinie, appelée extérieur du contour.
Et alors on peut se poser la question de l'existence de pôles à l'intérieur du contour.

Ce passage est étrange… J'imagine que vous savez comment calculer en intégrant sur un contour comprenant l'axe réel, un demi-cercle de rayon nul autour de l'origine et un demi-cercle de rayon infini centré également sur l'origine. Bon bah là moi c'est un peu pareil

Mon contour, en fait, est comme ça :

Pièce jointe supprimée

Tel que c'est là, y a pas de problème car mes contours ne contiennent aucun pôle (c'est fait pour ) mais en fonction d'un certain paramètre, les pôles qui sont dans le demi-plan inférieur viennent sur l'axe réel et j'étudie alors si mon intégration sur ces contours a encore du sens en fonction de ce paramètre

[invite76543456789]

Bonjour,

J'imagine que vous savez comment calculer en intégrant sur un contour comprenant l'axe réel, un demi-cercle de rayon nul autour de l'origine et un demi-cercle de rayon infini centré également sur l'origine. Bon bah là moi c'est un peu pareil

Ca n'est pas ce qu'on fait!! (qu'est ce qu'un cercle de rayon nul? ).
On integre sur un contour qui est bien un contour, on prend l'axe reel de -M, à M, on evite l'origine par un demi cercle de rayon 1/M, et on boucle par un demi cercle de centre 0 et de rayon M, et on montre qu'en faisant tendre M vers l'infini, on obtient bien la valeur voulue.

[coussin]

C'est ce que je voulais dire

[invite76543456789]

Comme il a été dit plus haut, la notion de pôle ne fait pas sens pour toutes les fonctions, elle a un sens pour les fonctions méromorphes ou analytique réelles.
Pour des fonctions plus "molles" le notion de pole n'a pas de sens.
Ici ta fonction n'est pas meromorphe.
Que veux tu faire exactement?

[coussin]

Je ne sais pas ce que veux dire méromorphe…
Comme dit dans mon message #18, je veux savoir si mon intégration sur les contours présentés en pièce jointe a encore un sens quand les pôles qui se trouvent dans le plan complexe inférieur arrivent sur l'axe réel.

[invite76543456789]

Malheureusement la piece jointe n'est pas encore validée
Meromorphe c'est (localement) le quotient de deux fonctions holomorphes.

[coussin]

Ah bah il se trouve que ma fonction est effectivement le quotient de deux fonctions, ces pôles sont les zéros du dénominateur. Bah alors, pourquoi elle est pas méromorphe !
Par contre, je sais pas ce que veux dire holomorphe

[invite76543456789]

Le mot clé était holomorphe pas quotient
Les fonctions holomorphes c'est les fonctions analytiques si tu preferes (c'est pas exactement la definition, mais cela revient au meme). C'est a dire les fonctions developpables en série entieres sur C au voisnage de tout point. C'est assez restrictif comme définition, par exemple z->Re(z) (ou dit autrement x+iy->x n'est pas holomorphes.
Ces fonctions sont tres rigides et ont de bonnes propriétés, ce qui fait qu'on ait par exemple des theoremes du style formule de cauchy, theoreme des residus etc...
En gros ce sont des fonctions "qui ne dependent que de z" et pas de z barre, et qui sont derivables par rapport à z partout. (tu vois bien que x c'est z+zbarre, et racine de z par exemple ne serait pas derivable en 0, elles ne sont pas holomorphes).
Malheureusement (ou heureusement c'est selon) toutes les fonctions C infini, ne sont pas holomorphes, loin s'en faut, et on ne peut pas leur appliquer les resultats sur les fonctions holomorphes type formule des residus etc...

[JPL]

Cette pièce jointe doit être postée dans un format graphique pour plus de commodité : gif, png ou jpg. Merci.

[coussin]

[…] C'est assez restrictif comme définition, par exemple z->Re(z) (ou dit autrement x+iy->x n'est pas holomorphes. […]

Je vois Je n'ai pas été assez précis dans mon message #24 : ma fonction est en fait la partie réelle du quotient de deux fonctions. Ça doit être pour ça qu'elle n'est pas holomorphe…

[invite76543456789]

Alors elle n'a aucune chance d'etre holomorphe (sauf si elle est constante).
Impossible d'utiliser des techniques a base de residus.

[coussin]

Merci MissPacMan. Pour des raisons trop longues à détailler ici, au lieu de raisonner sur la partie réelle de ce quotient, je peux raisonner sur le quotient directement qui est holomorphe (ou méromorphe ). Autour d'un pôle, le quotient est maintenant en et j'ai effectivement été capable de calculer un résidu sans problème
JPL, je propose de laisser tomber la pièce jointe qui n'a plus trop lieu d'être maintenant… Désolé

[invite76543456789]

Effectivement ta fonction c'est 1/z et elle est bien méromorphe sur C, et tu peux appliquer l'arsenal classique.