Salut tout le monde!
Je suis nouveau sur le forum et je me demande si quelqu'un parmi vous peut m'aider à résoudre une démonstration qui a une relation avec les nombres complexes .
Donc voilà la situation :
a,b,c (des nombres complexes distincts) les affixes des points A,B,C tel que (a-b)^7+(b-c)^7+(c-a)^7=0
Monter que le triangle ABC est équilatéral .
Bonjour,
je n'ai pas trouvé encore la réponse mais je pense qu'en cherchant du côté de :
a-b est l'affixe du vecteur BA
b-c est l'affixe du vecteur CB
c-a est l'affixe du vecteur AC
donc en se plaçant dans le plan complexe (O;vecteur u; vecteur v) on a (a-b)^7 qui a pour argument arg((a-b)^7)=7 x arg(a-b)=7 x angle(vecteur u; vecteur BA) et on a module de ((a-b)^7) =(module(a-b))^7
idem pour (b-c)^7 et (c-a)^7
En partant de l'autre bout : si ABC est équilatéral alors module(a-b)=module(b-c)=module(c-a) et aussi angle(vecteur AB;vecteur AC)=pi/3 = angle(vecteur BC;vecteur BA)=angle(vecteur CA; vecteur CB)
Ce qui en appliquant la relation de Chasles peut donner : angle(vecteur AB;vecteur u)+angle(vecteur u;vecteur AC)=pi/3
Tout ceci peut-il servir ? Je n'en sais rien !
il faut que (v,w) + (w,z) = (v,z) avec v, w et z les vecteurs.
or tu as: 7(v,w) + 7(w,z) = 7(v,z) donc tu simplifie par 7 et tu retrouves le bon résultat.
PS: remplace les vecteurs v,w et z par BA, CB, AC.
Mais le hic ! a-t-on le droit de passer de:
Somme des affixes égale à zéro à somme des angles égales à zéro ?
Je ne crois pas car d'une manière générale arg(a+b) n'est pas égale à arg(a)+arg(b)
mais on sait que si a+b=0 alors arg(a+b)=arg(0)=2kPi, k entier relatif
Non 2kPi est l'argument de -1, sur le cercle trigonométrique.
Or si z=0, alors il n'y a pas de vecteur Oz car c'est en fait un point donc arg (0) = ensemble vide = impossible.
http://www.ilemaths.net/forum-sujet-421851.html
Je ne crois pasNon 2kPi est l'argument de -1, sur le cercle trigonométrique.car : -1=-1+0xi=cos(Pi)+i sin(Pi) d'où arg(-1)=Pi + 2kPi=Pi(2k+1), k entier relatif
je voulais dire 1, arg (1) = 0 + 2kPi
dsl pour la faute de frappe, honte à moi mais cela ne résout pas le problème de départ !
Oui en effet honte à moi arg(0) n'existe donc pas
Pitiéest-ce qu'il y a quelqu'un qui a la réponse !!!! xD cette exercice me trôte dans la tête, il faut que je demande à mon prof demain.
c'est peut-être un complot, il n'y a pas de réponse en réalité
Si il doit y avoir une réponse parce que cela marche avec a=-1 ; b=1 et c=i racine de 3
J'ai peut-être une solution mais je la trouve un peu alambiquée.
Dans le plan complexe on peut toujours trouver une transformation, f, composée d'une rotation, r, suivie d'une translation, t, telle que A a pour image A" par f , B a pour image B" par f et c a pour image C" par f.
Avec a", b" et c" affixes respectives des point A", B" et C" avec a" réel, b"=-a" et
Autrement dit on peut toujours trouver une transformation qui déplace le triangle ABC en un triangle A"B"C" posé sur l'axe (O, vecteur u) et dont O est le milieu de la base [A"B"]
Pour tout complexe z, f(z), l'affixe de l'image du point d'affixe z, peut s'écrire f(z)=t(r(z)), avec r(z)-w=(z-w)e^(i téta) d'où r(z)=w+(z-w)e^(i téta), w affixe du centre de rotation et téta angle de la rotation r.
Or t(r(z))-r(z)=u, u affixe du vecteur de la translation t
d'où pour tout complexe z, f(z)=u+r(z)=u+w+(z-w)e^(i téta)
On a :
a"=f(a)=u+w+(a-w)e^(i téta)
b"=f(b)=u+w+(b-w)e^(i téta)
c"=f(c)=u+w+(c-w)e^(i téta)
d'où :
a-w=(a"-w-u)e^(-i téta)
b-w=(b"-w-u)e^(-i téta)
c-w=(c"-w-u)e^(-i téta)
d'où :
a-b=a-w-(b-w)=(a"-w-u)e^(-i téta)-(b"-w-u)e^(-i téta)=2a"e^(-i téta) car a"=-b"
car
d'où
etc ....
Oula dur !
