Endomorphisme nilpotent et dimension

[invite7ec123bc]

Bonjour,

Soit E un -espace vectoriel de dimension n , et soit . On suppose qu'il existe un entier , tel que et

1)Montrer que la famille est une famille libre de E si et seulement si .

Je pense avoir trouvé cette question en considérant l'image d'une combinaison linéaire nulle de cette famille par

2) Pour tout , on note la dimension de . Montrer que .

Je pense aussi avoir trouvé cette question avec le théorème du rang et l'argument (car )

3) En déduire pour tout , l'inégalité :



Je ne vois par où commencer ici, et l'indication qui conseille de regarder la restriction de f à un sous-espace bien choisi ne m'aide pas...

Pouvez-vous m'aider? Merci.
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[Seirios]

Bonjour,

En posant et la restriction de f à , le résultat 2) s'écrit . Il te suffit de montrer que , ce qui ne semble pas bien difficile.

[invite7ec123bc]

Merci Seirios .