Endomorphisme nilpotent et dimension
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Endomorphisme nilpotent et dimension



  1. #1
    jinmu

    Endomorphisme nilpotent et dimension


    ------

    Bonjour,

    Soit E un -espace vectoriel de dimension n , et soit . On suppose qu'il existe un entier , tel que et

    1)Montrer que la famille est une famille libre de E si et seulement si .

    Je pense avoir trouvé cette question en considérant l'image d'une combinaison linéaire nulle de cette famille par

    2) Pour tout , on note la dimension de . Montrer que .

    Je pense aussi avoir trouvé cette question avec le théorème du rang et l'argument (car )

    3) En déduire pour tout , l'inégalité :



    Je ne vois par où commencer ici, et l'indication qui conseille de regarder la restriction de f à un sous-espace bien choisi ne m'aide pas...

    Pouvez-vous m'aider? Merci.

    -----

  2. #2
    Seirios

    Re : Endomorphisme nilpotent et dimension

    Bonjour,

    En posant et la restriction de f à , le résultat 2) s'écrit . Il te suffit de montrer que , ce qui ne semble pas bien difficile.
    If your method does not solve the problem, change the problem.

  3. #3
    jinmu

    Re : Endomorphisme nilpotent et dimension

    Merci Seirios .

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