Calcul de la trajectoire d'un robot

[paps0192]

Bonjour,

Je suis actuellement en train de réaliser un robot, et je recherche une formule pour effectuer une trajectoire particulière.
Je connais en permanence la position X, Y et l'orientation de mon robot. Je souhaiterai réaliser une fonction qui, à partir des positions X,Y et l'orientation du point d'arrivé, me trouverait une trajectoire à base de deux arc de cercle.

Schéma :


Exemple (correspondant à la figure) :
Départ : X=250, Y=150, α1=10°
Destination : X=290, Y=306, α2=50°
Je recherche la valeur de R qui vaut environ 58 (Valeur approximative trouvée en tâtonnant)

Merci d'avance, et n'hésitez pas si quelque chose n'est pas clair.
-----

[Bruno]

Bonjour,

Est-ce que la jonction entre les deux cercles doit être "lisse" (càd dérivable) ?

[paps0192]

Bonjour,

Oui elle doit être lisse, mon objectif est d'avoir une trajectoire "douce" possible pour mon robot.

[Bruno]

Je vois. Et la trajectoire doit être nécessairement constituée de deux cercles ? Si oui, alors je ne vois que la méthode dure: écrire le système d'équations suivant :

- cercle A passant par le point initial
- cercle B passant par le point final
- A tangent au point initial
- B tangent au point final
- égalité des dérivées à gauche et à droite au niveau de l'intersection de A et B

A priori, vous êtes parti pour une résolution numérique lourde d'un système non linéaire et sans garantie qu'une solution existe, bref le pire cas imaginable. Si vous tolérez des trajectoires pas trop circulaires, je tenterais bien une interpolation sur 4 points (en ajoutant deux points "près" des points initiaux et finaux en fct de l'angle, pour avoir qqch de presque tangent).

[A voir en vidéo sur Futura]

[Médiat]

Pour compléter la réponse de Bruno, vous pouvez regardez les courbes de Bézier en choisissant un point supplémentaire sur les perpendiculaires aux droites en pointillés passant par les points de départ (attention à le choisir du bon côté) ce qui vous donnera les tangentes en ces points.

[paps0192]

Merci pour votre réponse,

J'étais persuadé qu'il était possible de trouver le rayon plus simplement en partant sur le quadrilatère ABCD sachant que :
AB = R
CD = R
CB = 2R
AD = connu car on connait la position de A et D
angle A = connu car on connait la position de A et D, et l'angle α1
angle C = connu car on connait la position de A et D, et l'angle α2

Schéma :


Pensez-vous qu'une solution est possible ?

Sinon je n'ai pas bien compris votre méthode qui consiste à ajouter 2 points ?

[gg0]

Bonsoir.

Un début de réflexion. On connaît A et D et les positions des droites AB et DC (mais pas les positions de B et C). Plaçons sur les droites AB et DC des points E et F respectivement, tels que AE=BF=x (il y a 4 placements possibles, pour l'instant restons sur des demi-droites choisies. Il faut faire varier x jusqu'à ce que la distance EF soit exactement 2x. On voit sur des exemples que le choix des demi droites est primordial.
D'autre part, le raccord des cercles peut aussi amener le robot à être orienté "à l'envers" à la fin.

Pourquoi ne pas laisser tomber cette hypothèse restrictive de trajectoires circulaires ? Kepler l'a bien fait, tu peux l'imiter.

Cordialement.

[Bruno]

C'est clairement pas un problème à résoudre en 10min sur un forum Ça mérite quelques jours de recherche par tâtonnement pour avoir une solution acceptable et qui ne prenne pas 1h de calculs par l'ordi

Je précise que pour mon interpolation je pensais à une interpolation polynomiale mais après quelques tests sous Matlab ça n'a pas l'air d'être très optimal...

[paps0192]

Merci pour vos réflexions sur le sujet,

J'ai continué à chercher de mon coté et j'arrive maintenant aux formules suivantes :
formule trajectoire.jpg

La dernière formule quelque peu indigeste, ne possède qu'une seule inconnu R en fonction de la distance AD et des angles CDA et DAB. Si quelqu'un se sent capable de la mettre sous la forme "R =", je suis preneur.
Sinon est il possible de le faire automatiquement à l'aide de logiciel tel que Matlab ?

Merci

[invite9d84f621]

Sinon, par hasard, si l'hypothèse des trajectoires circulaires est abandonnée (car très -trop- restrictive), il est possible d'avoir des courbes douces en utilisant l'interpolation par spline cubique, cette interpolation minimise l'énergie et donne en général des trajectoires "douce". Je l'ai appliqué en math sur l'exemple d'un robot justement ça marche pas mal, donc étudie cette voie si tu peux

[gg0]

Attention, Paps0192,

dans ta dernière équation, il y a deux inconnues : R et AC.
Les logiciels de calcul formel peuvent éventuellement sous-traiter ce genre de calcul, mais les solutions seront probablement inexploitables si ce n'est pas un spécialiste qui les traite (et encore, lui aussi parfois "coince"). J'ai aussi l'impression que tu as utilisé un cas particulier de figure et que, pour d'autres positions, on aurait une équation différente.

Cordialement.

[vuaerom]

AC peut etre cependant trouvé puisqu´on connait les coordonnées de A et de D. AC serai donc fonction de R et des coordonnées de D.

[paps0192]

En effet c'est un oubli de ma part, mais on connait AC en fonction de R.
Parti sur ma lancé je vais essayer d'aller jusqu'au bout à l'aide de calcul formel, mais je songe de plus en plus à changer de méthode.

Donfal71,
Pouvez-vous me donner quelques précisions sur l'interpolation par spline cubique (Ces termes sont un peu trop barbare pour moi) ?

[invite9d84f621]

Euh... Et bien ça dépend du niveau mathématiques que vous avez. Concrètement, l'interpolation par la méthode de spline est une interpolation polynomiale de degré faible par morceau avec des conditions aux limites permettant une certaine régularité, cette méthode est très utilisé dans les domaines telles que la CAO ce qui permet de lisser des surfaces rapidement et précisément.

Voici deux liens relativement bien détaillés, mais des notions de maths doivent être acquises :

- http://www.math.univ-metz.fr/~croisil/M1-0809/2.pdf (français)

- http://www.riskglossary.com/link/cubic_spline.htm (anglais mais plus simple....)

- http://www-gmm.insa-toulouse.fr/~rab...copSplines.pdf

L'algorithme est relativement simple, si j'ai un peu de temps j'exposerai un exemple simple et concret appliqué au déplacement d'un robot.
L'idée générale (et assez concrète) de l'interpolation par spline cubique est de calculer : par morceau...

Bon courage

[Médiat]

Bonjour,

A mon avis les courbes de Bézier sont plus appropriées car on peut facilement imposer la tangente au point de départ comme je l'ai suggéré à mon post # 5

[ansset]

bjr , il n'y a pas une solution unique.

par contre il ressemble très fortement à un sujet très connu.
celui de la modélisation d'une trajectoire de caméra en image de synthèse en fonction des positions intiales, intermédiaires et finales de la camera et de la mire ( point visé ).
ce sont effectivement des solutions type "bezier" qui sont la plupart du temps utilisées dans les algorithmes.
en fait , il y a deux axes de solutions.
celles qui passent réellement par les points intermédiaires
et celles qui lissent au mieux la courbe.

[ansset]

re bjr,
je precise.
en général , on utilise des beziers mais elles ont qualité et defaut.
qualité : la courbe est douce , assez facile à programmer et respecte à la fois les points de départ et d'arrivée ainsi que leur tangentes.
defaut : elle ne passe pas exactement par les points intermediaires car elle arrondie la courbe.
les points intermédiaires sont plutôt des sortes de "tenseurs" de la courbe, mais que l'on peut ajuster.

pour être beaucoup plus précis et controler tous les points et leurs tangentes , il faut passer par les nurbs !
mais c'est un peu plus compliqué à programmer.
http://fr.wikipedia.org/wiki/NURBS

( ou bien tu craques un logiciel d'image de synthèse genre 3DS....)

[Médiat]

elle ne passe pas exactement par les points intermediaires car elle arrondie la courbe.

Cela tombe bien, il n'y a pas de points intermédiaires ici

[ansset]

Cela tombe bien, il n'y a pas de points intermédiaires ici

, j'ai essayé de repondre un peu plus largement, la question étant postée en "math du supérieur".
désolé.
heu !! comment il me casse le mediat

[ansset]

a la re-lecture, je n'ai fait que prolonger la réponse de donfal à la page précedente.
et je n'y peux rien si les programmations robotiques
( les robots soudeurs ou la conception et réalisation de surfaces complexes type carrosserie se font avec des nurbs et pas avec des splines simples ou des béziers ...)

[vuaerom]

J´ai revé de ce sujet cette nuit (ne me demandais pas pourquoi je n´en ai aucune idée). Ne serai ce pas plus facile d´utiliser une sinusoide étant donné que ton rayon ne change pas.

[paps0192]

Bonjour,

En effet, c'est une solution à étudier.
J'ai un peu mis ce sujet de coté en ce moment, mais je vous tiendrais au courant lorsque j'aurais choisi la solution optimisé à mon application.

[ansset]

bonjour,
tu ne parle pas de la rotation de ton robot, pourtant présente dans ton shéma .