Variables aléatoires, loi Normale

[invite4e8f9468]

Bonjour,

Je suis entrain de faire un exercice et je penche un peu sur la deuxième question :

Soit X,Y,Z trois variables aléatoires réelles indépendantes de loi N(0,1);
1) Déterminer loi de de U=X+Y+Z
2) Montrer que X-Y indépendante de U

1) Réponse : U suit N(0,3) car


Soit

et avec m=(0,0,0)' et

2) Soit W=X-Y

=

avec :




Ainsi:
=

et donc cov(W,U)=0 donc W et U indépendant et donc X-Y et U sont indépendant.

Enfaite j'ai peutêtre trouvé en vous écrivant ici . Est-ce correct?

Merci
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[gg0]

Bonjour.

Ok pour le 1 (il y a d'autres propriétés utilisables).
Pour le 2, la ligne sur la covariance de U et W est la seule utile. Mais ...
Le calcul de la covariance montre que U et W sont décorrélées. Mais des variables décorrélées peuvent ne pas être indépendantes. Il y a une raison forte, ici, qui permet de conclure. La connais-tu ?

Cordialement.

[invite4e8f9468]

Merci, non je ne la connais pas, je me contentai de montrer que cov(X,Y)=0 pour parler d'indépendance.
De quelles autres propriétés parlez vous?

Merci