Polynômes de SUP

[invite46e41aed]

Bonjour,
j'ai l'exercice suivant à résoudre : Démontrer que le polynôme P=36X⁴ + 12X³ -11X² -2X + 1 admet deux racines réelles doubles. Les déterminer.
Voici ma solution qui est juste (enfin d'après ma calculatrice TI-89 Titanium quand même ) :
SOit P = 36X⁴ + 12X³ -11X² -2X + 1. Supposons que P admette deux racines doubles. Soient a et b ces deux racines. D'où P=36*(X-a)²*(X-b)².
Je pose Q=1/36 P (je me suis rendu compte que c'est inutile après coup ), ensuite je développe, et par unicité des coefficients d'un polynôme j'identifie.
J'ai donc d'après le coefficient de X³ : a+b=-1/6, d'après le coefficient de X⁰ : a²b²=1/36 et d'après le coefficient de X¹ : -a*b²+a²*b. (C'est bizarre de ne pas utiliser toutes les relations mais bon ça a marché)
Donc, in fine a+b=-1/6 et a*b=-1/6, d'où a et b sont les racines de X² - 1/6X - 1/6, et donc ab et a,b{-1/3;1/2}.
Réciproquement, si X=1/2 ou X=1/3, le polynôme P s'annule.
Je trouve ma méthode vraiment très longue, et risquée au niveau des erreurs de calculs. Existe-il d'autre moyen d'arriver sur ce résultat?
Merci d'avance et bonne journée
Cordialement Arthur.
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[phys4]

Donc, in fine a+b=-1/6 et a*b=-1/6, d'où a et b sont les racines de X² - 1/6X - 1/6, et donc ab et a,b{-1/3;1/2}.
Réciproquement, si X=1/2 ou X=1/3, le polynôme P s'annule.
Je trouve ma méthode vraiment très longue, et risquée au niveau des erreurs de calculs. Existe-il d'autre moyen d'arriver sur ce résultat?

La méthode est très rigoureuse et pas si difficile, mais attention aux conclusions et aux signes : ce qui est en rouge est faux.

[Seirios]

Bonjour,

Si est une racine de P, alors p=1 et q divise 36. A partir de là, tu peux tester les racines rationnelles puis factoriser le polynôme.

[invite57a1e779]

Existe-il d'autre moyen d'arriver sur ce résultat?

Les racines multiples d'un polynôme P sont également racines du polynôme dérivé P' ; on peut donc déterminer les racines multiples de P en calculant le pgcd de P et de P'. Dons l'exemple considéré, on obtient facilement ce pgd : X²+X/6-1/6.

[A voir en vidéo sur Futura]

[invite46e41aed]

J'ai repéré une faute dans ce que j'avais envoyé, le polynôme n'est pas X² - 1/6X - 1/6 mais X² + 1/6X - 1/6 comme l'a trouvé God's Breath, donc mes racines sont donc 1/3 et -1/2. Désolé

La méthode est très rigoureuse et pas si difficile, mais attention aux conclusions et aux signes : ce qui est en rouge est faux.

Réciproquement 1/3 et -1/2 sont bien racines de P, et de P' donc 1/3 et -1/2 sont bien des racines doubles. C'est mieux comme ça?
Merci pour votre aide

[invite51203e71]

Bonne méthode ^^