quelles justifications heuristiques y a t il pour la definition d'une sigma-algebre en theorie de la mesure ?
intuitivement on veut une partie d'ensembles que l'on va pouvoir "mesurer", mais pourquoi ne pas laisser une reunion quelconque d'ensembles mesurables etre mesurables ? pourquoi seulement pour les familles denombrables ?
Comme tu dis les éléments d'une tribu sont destinés à être mesurés, si l'on autorisait les réunions quelconques, alors la tribu engendré par les intervalles, la tribu boréliennes, contiendrait toute partie de R, or certaines parties n'ont pas de mesure de Lebesgue, la mesure de Lebesgue ne peut en aucun cas être étendu à R entier.
Comment t'y prendrais-tu pour mesurer l'aire d'un disque ? Tu le décomposerais en un nombre de plus en plus grand de carrés et tu définirais l'aire du disque comme la limite de la somme des aires de ces carrés. Tu utilises donc bien, à la limite, une union dénombrable de carrés. Donc intuitivement, c'est la stabilité par union dénombrable qui est importante.Envoyé par syborgg
L'argument se mord un peu la queue.
If your method does not solve the problem, change the problem.
A priori, on a défini les espaces mesurables pour pouvoir définir des mesures dessus. Une des propriétés importantes que devrait avoir une mesure, c'est que la mesure d'une union disjointe est la somme des mesures de ses composantes. Si l'union est indicée par un ensemble fini ou dénombrable, la somme des mesures a un sens (éventuellement infinie dans le cas dénombrable). Si on autorise des familles d'indices quelconques, comment définir la somme?
cette exemple montre en effet qu'on ne peut se contenter de stabilite par reunions finies : la stabilite par reunions denombrable est necessaire.
mais que se passe t il si on pose simplement la stablite par union quelconque ?
si ca se s'est pas fait c'est que ca doit conduire a une contradiction ou un paradoxe, mais lesquels ?
d'autre part, pourquoi dans la definition de la mesure imposer que la mesure d'une reunion denombrable disjointe est la somme (infinie) des mesures ? ce n'est pas clair d'apres cet exemple car a chaque niveau d'approximation du disque par des carres interieurs, seul un nombre fini apparaissent.
il y a une notion de famille sommable dans ce cas.
Comme le mentionne taladris, si l'on se donne une sigma-algèbre, c'est pour avoir une mesure. Or si l'on autorisait la stabilité par union quelconque, toute partie serait mesurable. Pourtant, il n'existe pas de mesure "raisonnable" définie sur toute les parties de. Tu peux par exemple regarder ce document de Pierre de la Harpe : Mesures finiment additives et paradoxes.
Prendre la limite sur des décompositions finies est en fait équivalent à prendre la série des mesures associées à une décomposition du disque en une union dénombrable de carrés.d'autre part, pourquoi dans la definition de la mesure imposer que la mesure d'une reunion denombrable disjointe est la somme (infinie) des mesures ? ce n'est pas clair d'apres cet exemple car a chaque niveau d'approximation du disque par des carres interieurs, seul un nombre fini apparaissent.
D'un autre côté, on peut montrer qu'une famille de réels sommable dont la somme est finie possède un nombre au plus dénombrable d'éléments non nuls.
If your method does not solve the problem, change the problem.
ok merci pour ces eclaircissements et pour le lien sur le document qui a l'air fort instructif !
+1. J'allais répondre mais Seirios l'a fait mieux que je ne l'aurais fait
