Espace vectoriel complexe

[invite705d0470]

Bonjour à tous !

On considère E un espace vectoriel de dimension n, et si on le considère avec sa structure de R-ev (induite naturellement).
Je dois successivement justifier l'existence d'une application induite sur ce second ensemble pour toute application linéaire sur E, puis comparer les dimensions de ces ensembles et enfin le déterminant des applications (induite et non induite).

Intuitivement,, mais je n'arrive pas à le prouver rigoureusement !
J'ai essayé en consiérant que avec par exemple. En gros, j'aimerais dire que envoie une base de E sur une base de .
Si par exemple est une base de E, comment justifier que est une base de ?

Pour l'application induite de u, je réfléchis encore

merci d'avance !
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[Seirios]

Bonjour,

Si est une base de E en tant que -espace vectoriel, tu peux montrer que est une base de E en tant que -espace vectoriel. À partir de là, tu pourras donner un sens précis à ton intuition pour s.

[invite705d0470]

D'accord ! (enfin je crois ...)

Je vais tenter de généraliser

Soit F et G deux corps, et une base de E comme G espace vectoriel.
On suppose que et que en soit une base, où , si celà a du sens, est l'espace vectoriel G sur F.
Alors la famille est une base de E comme F espace vectoriel.

Dans l'idée (rigoureuse) et en gardant les notations précédentes: elle est génératrice et libre, on utilise pour générer de manière unique puis la base pour générer de façon unique les scalaires (de G) qui sont les coordonnées de x dans la première base.
On arrive à une expression du type


Et donc on trouve la relation

Donc étant donné que C est un R-espace vectoriel de dimension 2, on trouve mon résultat, c'est correct ?

Je continue de réfléchir pour l'application induite sur (j'ai un peu de mal à la voir, dois je faire et ... ?) et le déterminant (après ^^)

[Seirios]

Je vais tenter de généraliser

Soit F et G deux corps, et une base de E comme G espace vectoriel.
On suppose que et que en soit une base, où , si celà a du sens, est l'espace vectoriel G sur F.

Cela a bien sûr un sens si G est un F-espace vectoriel.

Alors la famille est une base de E comme F espace vectoriel.

Dans l'idée (rigoureuse) et en gardant les notations précédentes: elle est génératrice et libre, on utilise pour générer de manière unique puis la base pour générer de façon unique les scalaires (de G) qui sont les coordonnées de x dans la première base.
On arrive à une expression du type


Et donc on trouve la relation

Donc étant donné que C est un R-espace vectoriel de dimension 2, on trouve mon résultat, c'est correct ?

Cela me paraît tout à fait correct.

Je continue de réfléchir pour l'application induite sur (j'ai un peu de mal à la voir, dois je faire et ... ?) et le déterminant (après ^^)

Je ne vois pas très bien de quelle application tu parles...Que cherches-tu exactement ?

[A voir en vidéo sur Futura]

[taladris]

Cela a bien sûr un sens si G est un F-espace vectoriel.

Si est une extension de corps de , alors est toujours un -espace vectoriel (addition et multiplication par un scalaire définies de manière évidente).

[invite705d0470]

Et bien je cherche à justifier le fait que toute application linéaire sur E comme C-espace vectoriel admet une application induite "naturelle" sur E comme R-espace vectoriel.

Ok, c'est noté taladris.

[gg0]

Bonjour.

Pour l'application "induite", comme c'est le même ensemble, elle est déjà définie (l'application est exactement la même puisque ce sont les mêmes ensembles !). Reste à voir si elle est linéaire. Je ne vois pas bien l'intérêt d'avoir généralisé !
Donc tu as un ensemble E qui est tel que (E,+,.) est un espace vectoriel complexe, et donc (E,+,.') est un espace vectoriel réel (j'ai noté .' la multiplication . restreinte aux réels). Tu noteras que c'est le même E, le même +, seul le produit par les scalaires change.
Tu as ensuite une application f : E --> F (F espace vectoriel complexe) qui est C-linéaire. F, comme E peut être considéré comme un espace vectoriel réel. La question utile est ; f est-elle linéaire lorsqu'on considère E et F comme des espaces vectoriels réels ?
La réponse doit être oui, vu les questions suivantes
Comme je n'ai pas ton énoncé, il est possible que f soit un endomorphisme (F=E), mais ça ne change pas grand chose.
Pour la suite, il te suffit d'utiliser des bases de E et F.

Bon travail !

[Seirios]

Pour la suite, il te suffit d'utiliser des bases de E et F.

Cela dit, attention à prendre de bonnes bases ; celles que je t'ai données plus haut vont t'induire en erreur. Regarde plutôt les bases de la forme , tu devrais trouver une matrice diagonale par blocs.

[invite705d0470]

Merci à vous
En fait, je considère les endomorphismes (ce qui règle pas mal de problèmes, n'est ce pas ^^) .

Je note l'application "induite" par . Si est une base de E (comme C-espace vectoriel, donc), alors je la construis en la définissant sur la nouvelle base afin qu'elle vérifie bien: et (j'espère que c'est bien ce qu'il faut faire !) et est linéaire sur .
En notant de plus , alors on a ! (ce que tu m'annonçais, Seirios )

Du coup, on peut dire que pour le déterminant, c'est à la puissance i.e que .

Si c'est bien ça, merci encore à tous !

PS: gg0, merci pour les conditions
Et en ce qui concerne ma "généralisation", elle n'a d'utilité que le fait que je suis sûr de pouvoir réappliquer ces principes dans un contexte plus ou moins similaire ^^

[gg0]

Bonsoir.

"alors je la construis en la définissant sur..."
Mais tu n'as pas besoin de la construire, puisqu'elle est déjà définie ! Ce n'est pas l'application qui est "induite", ou plutôt, le mot "induite" est mal choisi (par ton énoncé ? d'où sors-tu cela ?). Simplement, u est une application qui est un endomorphisme de l'espace vectoriel (E,+,.) (espace vectoriel sur C). C'est aussi un endomorphisme de l'espace vectoriel (E,+,.') (espace vectoriel sur R). Ce qu'il te faut démontrer. Avec la même application u (mais pas le même produit externe).
Quand tu l'auras fait (c'est quasiment évident, y'a qu'à écrire !), tu pourras, pour la suite distinguer l’endomorphisme u de (E,+,.) de l'endomorphisme v de (E,+,.'), en n'oubliant pas que pour tout x de E, v(x)=u(x) puisque c'est la même application. (*)
C'est là que les bases vont intervenir, puisqu'on te parle de matrices.

Bon travail !

(*) Note que si l'application ne dépend que de l'ensemble, l'idée d'endomorphisme est bien relative à l'espace vectoriel considéré, puisqu'elle tient compte des opérations.

NB : Ta "généralisation" a plutôt obscurci une question qui était simple au départ.

[invite705d0470]

En gros, je n'ai rien compris et je suis passe à côté des difficultés en écrivant n'importe quoi !
Bon, je capitule, ma généralisation était hors de propos.
Je m'y remets des que je le peux (sans doute demain dans l'aprem !)
Merci de me remettre dans la bonne direction,

Snowey

[invite705d0470]

Re-boujour.

En gardant les mêmes notations pour les bases des deux espaces vectoriels, soit , montrons que u est aussi une application linéaire de :
1- elle est définie sur E
2- elle est stable par somme + (inchangée entre les deux espaces)
3- elles est stable par produit externe sur R (car )

On la note désormais lorsqu'elle est considérée sur .
Pour le déterminant, en remarquant que avec , on a bien
et donc .

Est ce mieux ?

[gg0]

C'est rapidement fait,

mais c'est l'idée. Pour un prof exigeant, ou pour expliquer à un débutant, il faudrait détailler la linéarité ( stable par produit externe) et le lien entre les coefficients des deux matrices.

Cordialement.