Espace vectoriel

[invite72483f78]

Bonjour à tous. Voici un problème d'espace vectoriel où je ne sais comment conclure.

f(x,y,z,t)=(x-y+z+t,x+2z-t,x+y+3z-3t) est une application linéaire R4-->R3

Je dois trouver une base de Kerf et Imf.
Pour ce qui est de Kerf, j'ai abouti sans trop de difficultés à :
Kerf={(t-2z,-2z+2t,t,z)} Ainsi j'obtiens la base formée par deux vecteurs e1=(1,2,1,0) et e2=(-2,-2,0,1)

Pour ce qui est de l'image, j'ai plus de difficultés. Je sais qu'elle est de dimension 2.(théorème du rang)
Par la suite, j'utilise les 4 vecteurs de la base canonique et je trouve que f(e3)=f(e4). Ainsi, les vecteurs f(e1),f(e2);f(e3) forment une famille génératrice.Or, son cardinal n'est pas égal à la dimension de Imf. Ainsi, je ne vois pas comment conclure pour Im(f). Pourriez-vous m'indiquer mon erreur s'il vous plait ? Merci
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[invite0d584d8e]

Pour calculer im(f) tu dis qu'un vecteur de R4 appartient a Im(f) ssi X(a,b,c,d)=(x-y+z+t,x+2z-t,x+y+3z-3t) tu resouds en a,b,c,d apres tu exprime le tout en fonction d'un Vect.

[invite72483f78]

Oui mais cette méthode est une alternative à celle que je vous ai proposé, non ??
J'aimerais dans un premier temps comprendre comment je peux conclure d'après la première méthode que j'expose car je ne vois pas où est mon erreur =/
Merci d'avance

[invite89cc01e3]

attention, la dimension de l'ensemble d'arrivée est de 3, pas 4 ...

[A voir en vidéo sur Futura]

[sylvainc2]

D'après moi, ton erreur est dans ton calcul de f(e3) et f(e4): f(e3)=2f(e1)+f(e2), et f(e4)=-f(e1)-2f(e2). Seulement f(e1) et f(e2) forment une famille libre et génératrice. On a bien dim(im(f))=2 et dim(ker(f))=2.

[invite72483f78]

Ah oui, mon ensemble d'arrivée est de 4 mais pour trouver Im(f), je dois bien prendre 4 vecteurs de la base canonique, c'est à dire de l'ensemble de départ, non ??
Merci bien de votre aide, cela m'éclaire beaucoup et souligne que j'ai encore quelques points incompris.

Ainsi Sylvain, si je toruve que Dim(im(f))=2 et que f(e1) et f(e2) forment une famille libre, je peut dire qu'il forment également une base de Im(f) ??

Merci d'avance