exo espace vectoriel

[invitea0b9dda4]

Bonjour, je bloque sur la 1ere question d'un exo m'empechant de faire le reste, si vous pouviez m'éclaicir...
Soit u=(a+1)ide - 2ap , p étant un projecteur. Il faut calculer u"rond"u en fonction de p et de ide puis en déduire que u appartient à GL(E) et enfin, déterminer la réciproque de u en fonction de p et de ide. "rond"=o

Je fais donc uou=((a+1)ide-2ap)o((a+1)ide-2ap)
= (a+1)ideo(a+1)ide - (a+1)ideo2ap - 2app(a+1) - 4a²p
Est ce que j'ai le droit d'écrire uou= ide((a+1)²-4ap(a+1)) + 4a²p
Il ne me semble pas que ça soit juste car je n'arrive pas a deduire le reste...
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[inviteaf1870ed]

Ton calcul est juste, pour t'en convaincre, passe par un vecteur x de E, et calcule u(u(x)). C'est le même calcul. Comme p est un projecteur pop=p et donc

u²=uou=(a+1)²IdE+(4a²-4a(a+1))p=(a+1)²IdE-4ap

[invitea0b9dda4]

ok mais je ne vois pas comment en déduire que c'est bijectif ou a trouver la reciproque

[inviteaf1870ed]

Tu as un polynome annulateur de u du deuxième degré, donc le calcul de la réciproque de u est facile. Il faut peut être une condition sur a

[A voir en vidéo sur Futura]

[invitea0b9dda4]

a partir de u²-(a+1)u+2ap = 0 ?

[inviteaf1870ed]

Il faut te débarasser du p pour avoir un polynome annulateur