polynome

[invite705d0470]

Bonjour

Je cherche tous les réels a tels qu'il existe une quadruplet vérifiant: .

J'ai pensé à deux choses: un éventuel produit scalaire (mais rendu inutile par la dérivée) ou une application des bases duales et antéduales de , car et sont bien des formes linéaires.
En gros, j'essaierais de ramener le problème, dans un premier temps, à la recherche des valeurs de a pour lesquelles la famille est liée.
Ensuite, il me faudrait caractériser plus précisément parmi les réels solutions ceux qui m'assurent que intervient bien (que son coefficient ne soit pas nul !)

Pensez vous que ces idées peuvent aboutir ?

Si vous connaissez la solution, ou la devinez, pourriez vous me glisser quelques légères indications, remarques (sans toutefois me faire le travail, je cherche une fois de plus à progresser ===> à moi de bosser !)

Merci beaucoup,

Snowey.
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[invite705d0470]

En fait, mes connaissances sur les bases duales sont (très) limitées, alors peut être que je suis à côté de la plaque !

Mais en tout cas, il est déjà clair que:
-a=2 est une solution triviale
- est libre.

J'ai comme l'intuition que 2 est la seule solution ... En effet, si je suppose l'existence de 4 réels vérifiant (recherche de la liberté en supposant par l'absurde le coefficient non nul, sinon cf remarque 2), alors j'arrive à déterminer de manière unique ces réels rien qu'en considérant cette égalité sur grâce à un système de 4 équations !!
(le système à résoudre peut alors être ... bref !). Il y a donc de fortes chances pour que l'on aboutisse à une contradiction !

[Seirios]

Bonjour,

Je te propose une solution toute simple :

Posons . Alors , donc les éléments que tu cherches vérifient . De plus, tu as les mêmes égalités sur QP, où Q est un polynôme arbitraire, donc . Si tu choisis Q de telle sorte que , tu en déduis que , autrement dit, a est racine double de P. Par conséquent, a=2.

[invite705d0470]

Merci pour cette méthode (je n'ai pas tout compris: comment être sur que seuls les polynômes de cette forme conviennent ? Du coup je ne comprends pas très bien comment tu peux ramener ce problème d'existence à P seulement, sans considérer la somme et les coefficients), mais je travaille avec des polynômes de degre inférieur ou égal à 4 :/

[A voir en vidéo sur Futura]

[Seirios]

L'égalité est vraie pour tout polynôme P, donc je peux choisir un polynôme P arbitraire. Cela dit, je n'avais pas remarqué la contrainte sur le degré de P, donc ce que j'ai montré c'est que la seule solution est bien a=2 si l'on considère les polynômes de degré au plus cinq.

Sinon, on peut trouver un polynôme P de degré quatre tel que (si on le prend unitaire, il est en fait unique), donc a est racine du polynôme P' de degré 3. On sait déjà que 2 est racine de P', donc il y a au plus deux solutions différentes de 2, que l'on peut même expliciter. Maintenant, en testant l'égalité pour des monômes, on peut écarter ces solutions pour vérifier que nécessairement a=2.