Probabilité, esperance et variance.

[invite15fcf830]

Bonjour, j'ai un exercice de probabilité "simple" que je dois absolument comprendre pour avoir l'esprit libre!

l'énoncé me dit qu'on a un QCM de 20 questions avec à chaque fois 4 possibilités de réponse, on suppose évidemment que l'étudiant répond au hasard. Je dois cacluler l'espérance et l'écart type de la note obtenue au contrôle (sachant qu'une bonne réponse vaut 1 point et qu'une mauvaise réponse vaut -1/3 de point)
Les probabilités de répondre juste ou faux sont respectivement de 1/4 et de 3/4. Quel raisonnement logique dois-je avoir pour répondre?! J'aimerais avant tout comprendre car les réponses je les ai sous les yeux mais ça ne sert à rien si je ne comprend pas.
Merci beaucoup.
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[invite10ceed08]

Bonjour,

Tu peux commencer par traiter le cas ou il n'y a qu'une question au QCM.
Ensuite, la note du QCM etant la somme des notes obtenues a chaque question tu n'auras pas de mal a generaliser (en gardant en tete l'independance des notes).

[invite15fcf830]

Pour une seule question l'espérance est de 0 il me semble, à partir de là j'ai du mal à comprendre comment il faudrait le calculer pour 20 questions...

[gg0]

Bonjour.

Appelons X1 la variable aléatoire qui vaut 1 si la réponse à la première question est juste et -1/3 si elle est fausse, X2 la variable aléatoire qui vaut 1 si la réponse à la deuxième question est juste et -1/3 si elle est fausse, ...X20 la variable aléatoire qui vaut 1 si la réponse à la dernière question est juste et -1/3 si elle est fausse. La note est la somme de ces 20 variables aléatoires iid (indépendantes et identiquement distribuées). Donc on peut facilement calculer sa moyenne et sa variance à partir de celles de X1.
Si tu n'as pas de théorèmes sur moyenne et variance de soomes de VA, c'est plutôt compliqué !

Bon travail !

[A voir en vidéo sur Futura]

[invite15fcf830]

est ce qu'on peut considérer qu'il s'agit d'une loi binomiale avec succès avoir 1 point et echec avoir -1/3 de points?

[invite15fcf830]

est ce qu'on peut considérer qu'il s'agit d'une loi binomiale avec succès avoir 1 point et echec avoir -1/3 de points?

Ca y est j'ai enfin compris qu'il fallait se servir de la linéarité pour l'espérance. En revanche pour l'écart type, il faut utiliser la variance mais si on utilise la propriété V(aX)= a(carré)V(X) ca ne fonctionne pas car ensuite je trouve un ecart type de 17 et la réponse exacte est 2,58 (on obtient cela en appliquant la propriété de linéarité de l'esperance à la variance!!) Je suis un peu perdue :/

[invite501e8040]

pose toi la question de savoir pourquoi on ne peut pas utiliser la propriété V(aX)= a(carré)V(X).
relis bien le message de gg0

[gg0]

Bonjour.

Dit autrement : A-t-on X1+X2=2X1 ?

Cordialement.

[invite15fcf830]

est ce que comme on cherche un écart type, il faut prendre la racine carré de la variance?

[invite10ceed08]

Bonjour,

On a N = N1+N2+...+N20

Tu as deja calculer E(Ni) = 0 pour i=1,2,...,20
Or on a la formule;
E(A+B) = E(A) + E(B)
D'ou on deduit;
E(N) = E(N1) + E(N2) + ... + E(N20) = 0

ATTENTION meme si N1,N2,... sont "identiques" elles ne sont pas egales! Donc tu n'as PAS N=20xN1 !

Pour l'ecart type il te faut d'abord calculer la variance et donc l'esperance de N^2. En prenant le cas ou il n'y a que deux questions ( N = N1+N2 ) tu obtiens;
E(N^2) = E(N1^2) + E(N2^2) + 2xE(N1xN2)
Tu dois pouvoir calculer E(N1^2) facilement.
Quant a N1xN2 comme tu as independance tu as un theoreme qui s'applique.

Bon courage.

[gg0]

est ce que comme on cherche un écart type, il faut prendre la racine carré de la variance?

Heu ... C'est quoi, déjà, l'écart type ?

[invite15fcf830]

ça y est j'y suis enfin, la variance de la note équivaut à la somme des variances de chaque question du QCM, sachant qu'il y a 20 questions, on multiplie 1/3 par 20 et on trouve l'écart type en faisant la racine carré!
Maintenant! ce qui me gêne c'est que la linéarité ne peut pas s'appliquer à l'espérance! On obtient 0 mais ce n'est pas cette propriété qui nous permet de le dire, si??

[invite10ceed08]

Bonjour, peux tu detailler ton calcul de la variance pour verifier la méthode? La conclusion est bonne c'est la methode qui compte.

[gg0]

Bonjour Rourou03.

la linéarité ne peut pas s'appliquer à l'espérance

Oh que si ! E(X+Y)=E(X)+E(Y) et E(kX)=kE(X)
C'est la variance qui n'est pas linéaire, ainsi que l'écart type. Par contre, tu as une propriété additive pour la variance de VA indépendantes. Qu'il faudrait que tu voies dans ton cours, pour comprendre ce qui se passe ici (et répondre à la question de Mathieu).

Cordialement.

[invite15fcf830]

Bonjour, peux tu detailler ton calcul de la variance pour verifier la méthode? La conclusion est bonne c'est la methode qui compte.

Et bien on a V(X1+X2+X3+...+X2) = V(X1)+V(X2)+V(X3)+...+V(X20)
sachant que la variance de chaque valeur est la même, on a V= 20 x V(X1) = 20x1/3 = 6,67
on cherche l'écart type donc: écart type= racine carré (6,67)= 2,58

c'est bien ça?

[invite15fcf830]

Bonjour Rourou03.


Oh que si ! E(X+Y)=E(X)+E(Y) et E(kX)=kE(X)
C'est la variance qui n'est pas linéaire, ainsi que l'écart type. Par contre, tu as une propriété additive pour la variance de VA indépendantes. Qu'il faudrait que tu voies dans ton cours, pour comprendre ce qui se passe ici (et répondre à la question de Mathieu).

Cordialement.

En fait dans mon cours je n'avais pas cette propriété pour l'espérance mais uniquement E(X.Y)=E(X).E(Y). Je ne sais plus pourquoi j'étais gêner par le fait d'utiliser la linéarité pour l'espérance de la note obtenue.

[gg0]

Aie, aie aie !

La propriété E(X.Y)=E(X).E(Y) est généralement fausse (*) !
J'espère que tu as plutôt le théorème : Si X et Y sont indépendantes, alors E(X.Y)=E(X).E(Y).

Cordialement.

(*) Regarde ce qui se passe pour Y=X et X est le résultat d'un lancer de dé, ou même un pile ou face noté 1 si pile et 0 si face.

[invite15fcf830]

Oui pardon, ce n'est que en cas d'indépendance

[gg0]

Effectivement. De même que pour la propriété d'additivité des variances.

Enfin, plus précisément, l'indépendance permet d'utiliser ces deux formules, mais elles peuvent être vraies dans des cas particuliers de variables dépendantes.

Cordialement.

[invite15fcf830]

Et bien merci beaucoup pour tout ces détails je suis incollable sur le sujet à présent. Merci et bonne continuation à tous