Tribu en probabilité

[invited7748c90]

Bonjour,

Il y a déjà pas mal de temps que je cherche à comprendre à quoi sert "la tribu" en proba. J'ai réellement du mal à faire le lien entre l'univers, les événements et la tribu.

Si quelqu'un a soit un cours qui met bien en lumière l'objectif ou un des exemples parlant définissant le rôle de chacun et l'objectif de définir la tribu, j'apprécierais beaucoup d'avoir ses explications.

Seconde question:

J'aurais besoin de cours de mathématiques appliqués niveau L3, si vous avez des documents ou connaissez des sites où sont disponibles ces fameux cours.

De mémoire, je cherche:

-Espaces métriques
-EDP
-proba

Merci d'avance pour votre aide.

Anthony
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[gg0]

Bonjour.

Partons très simplement : Que veut-on quand on définit une probabilité (on peut poser la même question pour une mesure, et pour cause : une probabilité est une mesure particulière) ?
On veut pouvoir pour les événements A, B, ... qui nous intéressent (au moins ceux-là) pouvoir dire :

et

Autrement dit, il faut que l'ensemble vide et l'univers soient des événements, et que la réunion de deux événements incompatibles soit un événement. Comme on a aussi envie d'utiliser la probabilité de A se réalise et pas B, il est sain d'avoir l'intersection de deux événements qui soit encore un événement. idem pour le complémentaire.

Donc il faut considérer un ensemble d'événements qui soit stable par intersection, réunion et complémentaire et contienne l'ensemble vide et l'univers. Tu vois qu'on est déjà proche de la définition d'une tribu (si je me souviens bien, je viens de définir une algèbre).
Pour un univers fini, ou infini dénombrable, on connaît un candidat : l'ensemble des parties de l'univers. mais même dans un univers fini, on n'a souvent pas besoin de définir la probabilité des singletons. Parfois, le vide, A et son complémentaire et l'univers sont suffisants pour travailler. Et ensemble, ils forment une tribu !

Alors pourquoi ne pas utiliser toujours ? pour deux raisons :
* Une assez faible : Comme je l'ai dit, on n'a pas besoin de définir la probabilité de chaque élément de l'univers pour travailler.
* Une rédhibitoire : On ne peut pas définir de probabilité d'élément satisfaisante pour les situations d'univers infinis non dénombrables. Plus précisément, pour avoir la notion (très utilisée depuis longtemps) de variable aléatoire absolument continue, on ne peut pas utiliser la tribu des parties de l'univers des réels. Elle est, d'une certaine façon "trop grosse". D'ailleurs, dans ce cas, tous les éléments ont une probabilité nulle et en les réunissant, on n'arrive jamais à une probabilité non nulle. Alors qu'avec la tribu engendrée par les intervalles, tout fonctionne.

Tu noteras que je n'ai pas parlé de la sigma-additivité, qui est nécessité par une autre idée : la possibilité de passer à la limite.

Cordialement.

NB : Si des spécialistes du domaine veulent bien corriger mes approximations, j'en serai heureux.

[invited7748c90]

Bonjour,

Merci pour l'explication. Effectivement, ce qu'il me manquait c'était principalement la liaison avec le calcul de la probabilité. Je comprend aussi l'explication sur les intervalles qui est très pertinente et illustre bien le concept.

J'ai noté que nous n'avons pas parlé de sigma-additivité mais si je peux en savoir plus là dessus ça m'intéresse.

Merci d'avance.

NB: Je suis toujours à la recherche de cours pour niveau L3 de mathémat

[gg0]

Pour les cours, tu pourrais regarder ceux de jean-Michel Jolion ou d'Olivier Garet (dans ce dernier cas, acheter son bouquin pourrait t'être très profitable). Je te laisse chercher sur Internet.

Pour ma sigma-additivite, le fait qu'une réunion dénombrable d'éléments d'une tribu est encore dans la tribu permet des passages à la limite efficaces. Par exemple le fait que les intervalles sont dans la tribu engendrée par les intervalles ouverts permet de conclure que [0;1] en faut aussi partie. Ainsi, les intervalles ouverts suffisent à obtenir tous les intervalles. Et un grand nombre de propriétés très utiles dépendent de cette condition sur les réunions dénombrables. Et ça permet aussi d'avoir des tribus suffisamment larges en partant d'un ensemble restreint de parties.
Ensuite, la propriété de sigma-additivité permet de se servir de ça !

Cordialement.

[A voir en vidéo sur Futura]

[Amanuensis]

Pas besoin de la sigma-additivité pour avoir les intervalles fermés. [x,y] est l'intersection des complémentaires de ]x-e,x[ et de ]y, y+e[, et de ]x-e/2, y+e/2[ (ou quelque chose comme ça, j'imagine que vous voyez l'idée).

[gg0]

Effectivement,

mais il ne s'agissait que d'un exemple.

[invite179e6258]

Pas besoin de la sigma-additivité pour avoir les intervalles fermés. [x,y] est l'intersection des complémentaires de ]x-e,x[ et de ]y, y+e[, et de ]x-e/2, y+e/2[ (ou quelque chose comme ça, j'imagine que vous voyez l'idée).

mais ça n'aide pas pour trouver la longueur (mesure) de [x,y] si on connaît la longueur de ]x,y[

[Amanuensis]

En règle générale on ne peut pas connnaître la mesure de [x,y] à partir de celle de ]x,y[.

[invite179e6258]

sauf si on utilise le passage à la limite évoqué par gg0 (je parle de la mesure borélienne bien entendu)

[Amanuensis]

C'est quoi "la" mesure borélienne ???

Pour une mesure borélienne quelconque définie sur R, connaître la mesure de ]x,y[ ne permet pas de connaître la mesure de [x,y], où est le problème ?

Et le passage à la limite demande de connaître la mesure d'une infinité d'intervalles différents ! Pas seulement celle de ]x,y[...

Une polémique pour le plaisir de la polémique ?