Nombres complexes et équation

[invite1e03ab1d]

Bonjour à tous,
Je suis en train de faire une feuille d'exercices sur les nombres complexes, et deux questions me posent problème.

Soit A ∈ ℂ, et n ∈ N*. On considère l'équation (E) : , d'inconnue z ∈ ℂ.

1) On suppose que (E) a au moins une solution réelle ; montrer que |A| = 1.
2) On suppose que |A| = 1 ; montrer que les solutions de (E) sont toutes réelles.

Pour la question 1, j'ai commencé à transformer (E) pour qu'il n'y ai plus de i au dénominateur : lorsque je remplace z par n'importe quel nombre réel, j'ai bien des valeurs de A qui sont situées sur le cercle trigonométrique de rayon 1, donc de module 1. Mais je ne vois pas comment démontrer cette affirmation, et surtout comment me débarrasser de cette puissance n (propriété des arguments, logarithme ?).
Toute aide est la bienvenue, merci à vous : D
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[invited7e4cd6b]

Bonjour,

1/ Tu peux évaluer les modules directement en injectant la solution réelle et en évaluant les parties réelle et imaginaire.
2/ (1+iz_n)=exp(i*2*k*Pi/n)*(1+iz_n), ou les z_n sont les solutions de (E).

J’espère que ca t'aidera.

[invite1e03ab1d]

Merci !
J'ai juste une petite question : "injecter la solution réelle", veut dire remplacer z par un nombre réel ? ou par a (en considérant a + ib, avec ib nul) ? ou rien de tout ça ?

[invited7e4cd6b]

Remplacer z par la solution réelle

[A voir en vidéo sur Futura]

[invite1e03ab1d]

Je vais sûrement avoir l'air bête, mais on ne connait pas la valeur de la solution réelle : o

[invited7e4cd6b]

Si tu injectes un nombre réel qui vérifie (E) alors le module du dénominateur est le même que celui du numérateur, car ils sont conjugués.

[invite1e03ab1d]

Aaah d'accord je l'ai ! Et du coup la puissance n ne pose plus de problème, merci beaucoup !
Je vous embête encore pour la deuxième question, comment passez-vous du membre de gauche au membre de droite ?

[inviteaf1870ed]

Puisque A est de module 1, il s'écrit sous la forme A=exp(it), et sa racine n-ième s'exprime simplement. Il est ensuite facile de résoudre l'équation