Marche aléatoire en une dimension

[arbolis87]

Bonjour tout le monde,
Je bloque sur le probleme suivant:

Une personne marche le long d'un fil tendu. Il fait des pas d'une longueur "a" et pour chaque pas, il a une probabilité "p" de faire un pas a droite et "1-p" de faire un pas a gauche.
Calculez la probabilité de trouver le marcheur a une distance "ma" de son point de départ apres N pas. Calculez la moyenne de la variable "ma" et sa variance.

Je nomme D et G le nombre total de pas a droite et a gauche respectivement. Alors j'ai , . Donc . . Ensuite la probabilité d'avoir exactement D pas sur un total de N est .
Ca me donne . Je crois que j'ai fais une erreur, j'ai "oublié" d'utiliser le fait que la probabilité de marcher a droite n'est pas nécessairement la meme que de marcher a gauche.
Donc le résultat serait ?
Ensuite pour calculer la moyenne de la variable "ma". Il me semble qu'elle vaut . Ca a l'air monstreux a calculer... je n'ai vraiment pas d'idées de comment la calculer. Intuitivement, je sais que si p=1/2=1-p, la moyenne vaut 0 et si p est plus grand que 1-p, elle est positive et négative si non.
Merci pour toute aide!
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[ericcc]

Je ne comprends pas l'énoncé : s'il marche le long d'un fil, comment peut il faire un pas à gauche ou à droite ?. J'aurais plutot vu un pas en avant et un pas en arrière. Dans ce cas la distance à l'origine est d=Av-Ar, avec les notations évidentes.

[toothpick-charlie]

prenons a=1 , D=1, G=-1 pour simplifier et changeons le processus : à chaque étape on ajoute 1, si bien qu'un pas à droite devient +2 et un pas à gauche 0. A condition de la diviser par 2, la somme suit alors la loi binomiale B(N,p) et son espérance est Np et donc en revenant à la situation initiale l'espérance est a(2Np-N)

[0577]

Bonjour,

il est plus simple de tout exprimer en fonction de D plutot qu'en
fonction de m.
Ensuite pour calculer la moyenne et la variance, les sommes ne sont pas si compliquees
(indication : il faut savoir comment traiter les expressions du type ,
...)

[A voir en vidéo sur Futura]

[0577]

je n'avais pas vu le post de toothpick-charlie : evidemment, le calcul que je suggere de faire est en gros (a la petite transformation indiquee par toothpicck-charlie pres) la demonstration des valeurs de la moyenne et de la variance dans le cas de la loi binomiale.