Série entière qui converge en 1/sqrt(x) : possible ?

[erff]

Bonjour,

Je suis en train de traiter un problème de physique et je me heurte à une difficulté mathématique :

Est-il possible de trouver des coefficients d'une série entière qui converge vers 0 à la même vitesse que 1/sqrt(x) ?
Je voudrais pouvoir satisfaire un truc du genre (je vous épargne les constantes physiques) :

Est-ce qu'une telle série peut exister ? Si oui, vous auriez une (des) recette pour en construire une ?

Merci
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[NicoEnac]

Bonjour,

Je propose d'utiliser le développement en série entière de avec a = -1/2 sous les conditions que x appartienne à ]-1;1[

[erff]

Bonjour,

Justement, tout mon problème est là : je cherche quelque chose de valable sur un intervalle du genre [a,+oo[ puisque c'est un comportement asymptotique qu'il me faut.

[gg0]

Euh ...

j'ai l'impression que erff veut faire tendre x vers.
C'est pourquoi j'ai renoncé à proposer cela.
A priori, rien n'interdit d'avoir une série entière qui respecte cette condition (et donc de rayon de convergence infini. Après tout, celle de exp(-x) tend vers 0 bien plus rapidement. Mais je n'ai pas d'idée précise.

Cordialement.

[A voir en vidéo sur Futura]

[invite332de63a]

Bonjour, peut-être une piste, on oublie toutes les hypothèses pour l'instant, on se donne une série entière qui est équivalente au voisinage de à alors donc sous certaines hypothèses du genre absolue convergence on a donc si l'on trouve une série entière qui converge vers 1, sans terme constant, peut-être pourrait-on remonter ?

Ceci est peut-être absurde...

[invited7e4cd6b]

Bonsoir,

Je pense qu'on pourrait affirmer que 1/sqrt(x) en 0 a le même comportement de 1/(x-1)^0.5 en -1. Et dans la décomposition en série entière de 1/(x-1)^0.5 te sera très utile.

[erff]

Bonsoir,

Oui mais c'est en + l'infini que je veux moi

[Médiat]

Dans ce cas il suffit de poser X = 1/x, et vous cherchez le développement en série entière de la racine carré au voisinage de 0, qui n'existe pas (pente infinie)

[gg0]

Bonjour Médiat.

Il me semble que n'est pas une série entière.

Cordialement.

[Médiat]

Bonjour gg0,

Oui, vous avez raison, mais en est bien une, et déjà elle n'existe pas pour la racine carrée, donc il est sûr que ce n'est pas la peine d'aller plus loin, c'est ce que je voulais dire.

Cordialement.

[erff]

Bonjour,

Merci pour cette réponse convaincante ... qui me trouble quand même, car cette équation modélisant une phénomène physique qui s'observe -- le comportement asymptotique revient à imposer une condition sur le champ électrostatique "vers l'linfini"-- je suis étonné que l'on ne puisse pas lui trouver une solution mathématique, surtout que j'ai raisonné par déduction... bref, je dois aller revoir ma copie je pense.

J'avais l'impression tout de même que le fait de demander un comportement en 1/sqrt(x) ne constituerais pas une propriété forte. J'avais le sentiment qu'il pouvait exister une infinité de façon de dégainer une série ayant ce type de comportement, car être équivalent à 1/sqrt(x) c'est aussi être équivalent à 1/sqrt(x+a) par exemple et à plein d'autres fonctions (et j'espérais en trouver une développable). J'imaginais que tous ces degrés de liberté permettraient d'une façon ou d'une autre à résoudre mon pb... et que la difficulté était plutot située dans l'embarras du choix que dans la formulation mathématique du pb.

Merci en tous cas !

[0577]

Bonjour,

je ne comprends pas l'argument de Mediat ...

[0577]

Bonjour,

je ne comprends pas l'argument de Mediat ...
Certes la fonction racine carree n'a pas de developpement en serie entiere en zero mais en quoi
cela resout-il le probleme ? Poser X =1/x ne semble pas dire cela.

[gg0]

Moi non plus, Médiat,

je ne comprends pas. On dirait un argument par ressemblance, ce qui est généralement un raisonnement faux. Donc si tu peux transformer ça en une preuve étayée ...

Cordialement.

[invite332de63a]

Bonjour, je poursuis un peu mon idée lancée plus haut... est DESE, sa série entière est on simplifie .
On a donc donc .

Donc .

Soit , définie sur car absolument convergente pour , . Soit . Si , sinon , donc est à signe positif strictement suur donc est bien définie sur .

Il resterait à montrer que est DESE, si elle l'est...

[0577]

Bonjour,

apres un voyage dans le monde des fonctions speciales, voici une proposition d'exemple. On peut lire sur wikipedia
qu'il existe une fonction Ai(x), la fonction de Airy, dont la plus simple des proprietes
est d'etre une solution de l'equation differentielle .
Une definition possible est

pour tout x reel.
Toujours wikipedia me dit qu'au voisinage de , on a l'equivalent:

En posant

on obtient une fonction qui est equivalente a a l'infini.

Mais wolfram functions me dit que Ai(x) est developpable en serie entiere

(converge pour tout x reel et meme pour tout x complexe).
Puisque f est definie a partir de Ai en faisant un changement de variable inoffensif x devient x^2
et en multipliant par essentiellemt une exponentielle, f est developpable en serie entiere en zero avec un rayon de
convergence infini.

En bricolant d'autres fonctions speciales de la meme facon, on doit pouvoir construire pleins d'autres exemples ...

[gg0]

Joliment vu, 0577 !

[erff]

Joli !

J'avais déjà baissé les bras ...
Je vais relire tout cela à tête reposée et l'appliquer à mon pb... car si je comprends bien on n'a pas une expression "compacte" pour les coefficients (ils sont définis avec des sommes à cause du produit par l'exponentielle).

Merci beaucoup !