Classification des lacets du plan et indice de rotation
Répondre à la discussion
Affichage des résultats 1 à 6 sur 6

Classification des lacets du plan et indice de rotation



  1. #1
    Seirios

    Classification des lacets du plan et indice de rotation


    ------

    Bonjour à tous,

    J'aimerais savoir si l'on dispose d'éléments de classification des lacets du plan à homotopie près. Je ne pense pas qu'il existe une classification complète, à cause des courbes "pathologiques" (trajectoires browniennes, courbes fractales, courbes de Peano-Hilbert, etc.), mais peut-être y a-t-il des éléments de réponse à plus forte régularité (, ou même ) ?

    Je me demande notamment si l'indice de rotation, qui est un invariant homotopique, permet de classer complètement une certaine classe de lacets.

    À ce propose, j'aurais aimé avoir quelques explications sur cet indice de rotation : d'où vient l'intuition qu'il s'agit bien d'un invariant ? dans quel contexte a-t-il d'abord été introduit ?

    Merci d'avance pour vos éléments de réponse,
    Seirios

    -----
    If your method does not solve the problem, change the problem.

  2. #2
    0577

    Re : Classification des lacets du plan et indice de rotation

    Bonjour,

    je ne suis pas sur de comprendre correctement la question.
    Si un lacet du plan est une application continue du cercle dans le plan
    alors tout lacet est homotope a un point (on dit que "le plan est simplement connexe").

    L'expression "indice de rotation" peut fait penser qu'on considere des lacets dans
    le plan prive d'un point (l'indice de rotation est defini par rapport a un point donne).
    Dans ce cas, l'indice de rotation est tout simplement le nombre de tours que fait
    le lacet autour du point enleve. On peut montrer qu'il classifie completement les
    classes d'homotopie de lacets du plan prive d'un point
    (on dit que "le groupe fondamental du plan prive d'un point est isomorphe a Z"
    ou l'isomorphisme est donne par l'indice de rotation).

  3. #3
    Seirios

    Re : Classification des lacets du plan et indice de rotation

    En fait je me suis trompé dans ce que j'ai demandé : je ne suis pas intéressé à regarder les lacets à homotopie près, mais comme ici (aller directement à 02:00). De quelles transformations s'agit-il ? On cherche un tel que et ?
    If your method does not solve the problem, change the problem.

  4. #4
    toothpick-charlie

    Re : Classification des lacets du plan et indice de rotation

    sinon il y a une classification des courbes fermées à points doubles, le critère d'équivalence étant l'existence d'un homéomorphisme du plan qui envoie une courbe sur l'autre. Arnold a travaillé sur ce problème je crois, (j'ai lu ce qu'en dit Marcel Berger dans son livre de vulgarisation : la Géométrie vivante)

  5. A voir en vidéo sur Futura
  6. #5
    Seirios

    Re : Classification des lacets du plan et indice de rotation

    La vidéo mentionne le problème suivant :

    On considère que deux courbes fermées régulières sont équivalentes s'il existe une homotopie les reliant de sorte que soit une courbe fermée régulière pour tout . Un invariant total est alors l'indice de rotation.

    Plus de détails dans l'article de Whitney, On regular closed curves in the plane.
    If your method does not solve the problem, change the problem.

  7. #6
    Elie520

    Re : Classification des lacets du plan et indice de rotation

    Citation Envoyé par Seirios Voir le message
    On considère que deux courbes fermées régulières sont équivalentes s'il existe une homotopie les reliant de sorte que soit une courbe fermée régulière pour tout .
    Je ne crois pas. En effet, la transformation effectuée à 3:00 de ta vidéo vérifie ces hypothèses. Mais tu peux imposer par exemple que "la courbure soit bornée pour tous s et t" (pour travailler avec les mains). Cela est vérifié, par l'inversion locale, si H est C1 (et pour éviter les problèmes de bord, tu peux imposer H(t, .) constante près de 0 et 1).
    Dernière modification par Elie520 ; 24/07/2013 à 14h29.
    Quod erat demonstrandum.

Discussions similaires

  1. Classification des courbes.
    Par invite76543456789 dans le forum Mathématiques du supérieur
    Réponses: 5
    Dernier message: 27/09/2012, 19h14
  2. Inclinaison du plan de rotation
    Par invite28197f9b dans le forum Physique
    Réponses: 2
    Dernier message: 16/07/2012, 08h26
  3. Continuité, espaces vectoriels, lacets
    Par FAN FAN dans le forum Mathématiques du supérieur
    Réponses: 5
    Dernier message: 12/01/2008, 17h54
  4. proble de matrice de rotation d'un plan
    Par invite21e5aabe dans le forum Mathématiques du supérieur
    Réponses: 7
    Dernier message: 10/02/2005, 08h31
  5. classification des thallophytes
    Par invite312f1ba2 dans le forum Biologie
    Réponses: 9
    Dernier message: 18/06/2004, 19h28