Classification des lacets du plan et indice de rotation

[Seirios]

Bonjour à tous,

J'aimerais savoir si l'on dispose d'éléments de classification des lacets du plan à homotopie près. Je ne pense pas qu'il existe une classification complète, à cause des courbes "pathologiques" (trajectoires browniennes, courbes fractales, courbes de Peano-Hilbert, etc.), mais peut-être y a-t-il des éléments de réponse à plus forte régularité (, ou même ) ?

Je me demande notamment si l'indice de rotation, qui est un invariant homotopique, permet de classer complètement une certaine classe de lacets.

À ce propose, j'aurais aimé avoir quelques explications sur cet indice de rotation : d'où vient l'intuition qu'il s'agit bien d'un invariant ? dans quel contexte a-t-il d'abord été introduit ?

Merci d'avance pour vos éléments de réponse,
Seirios
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[0577]

Bonjour,

je ne suis pas sur de comprendre correctement la question.
Si un lacet du plan est une application continue du cercle dans le plan
alors tout lacet est homotope a un point (on dit que "le plan est simplement connexe").

L'expression "indice de rotation" peut fait penser qu'on considere des lacets dans
le plan prive d'un point (l'indice de rotation est defini par rapport a un point donne).
Dans ce cas, l'indice de rotation est tout simplement le nombre de tours que fait
le lacet autour du point enleve. On peut montrer qu'il classifie completement les
classes d'homotopie de lacets du plan prive d'un point
(on dit que "le groupe fondamental du plan prive d'un point est isomorphe a Z"
ou l'isomorphisme est donne par l'indice de rotation).

[Seirios]

En fait je me suis trompé dans ce que j'ai demandé : je ne suis pas intéressé à regarder les lacets à homotopie près, mais comme ici (aller directement à 02:00). De quelles transformations s'agit-il ? On cherche un tel que et ?

[invite179e6258]

sinon il y a une classification des courbes fermées à points doubles, le critère d'équivalence étant l'existence d'un homéomorphisme du plan qui envoie une courbe sur l'autre. Arnold a travaillé sur ce problème je crois, (j'ai lu ce qu'en dit Marcel Berger dans son livre de vulgarisation : la Géométrie vivante)

[A voir en vidéo sur Futura]

[Seirios]

La vidéo mentionne le problème suivant :

On considère que deux courbes fermées régulières sont équivalentes s'il existe une homotopie les reliant de sorte que soit une courbe fermée régulière pour tout . Un invariant total est alors l'indice de rotation.

Plus de détails dans l'article de Whitney, On regular closed curves in the plane.

[invite029139fa]

On considère que deux courbes fermées régulières sont équivalentes s'il existe une homotopie les reliant de sorte que soit une courbe fermée régulière pour tout .

Je ne crois pas. En effet, la transformation effectuée à 3:00 de ta vidéo vérifie ces hypothèses. Mais tu peux imposer par exemple que "la courbure soit bornée pour tous s et t" (pour travailler avec les mains). Cela est vérifié, par l'inversion locale, si H est C1 (et pour éviter les problèmes de bord, tu peux imposer H(t, .) constante près de 0 et 1).