compact, complet, fermé, borné

[invite0437519a]

Bonsoir ^^,
J'essaie là de montrer que Tout compact est un complet (premierement)
puis que tout compact est fermé borné.

1 . j'ai pris un compact A, et (Xn) une suite de cauchy de A, ( je dois montrer qu'elle converge dans A)
alors elle admet au moins une valeur d'adherence d'apres la compacite, donc il existe un a de A et (vn) une sous ste de (Xn) qui converge vers a.
Et puis j'ai arrêté là , je ne vois pas comment me ramener à la convergeance de (Xn) !
Qqn pourrait me donner une preuve exacte, car on a presk fini la topologie et je ss un peu en retard mais je dois quand meme maitriser les bases
Merci d'avance !
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[inviteea028771]

Sans trop détailler, mais l'idée générale est là :

Tu prends une suite de Cauchy



Tu en extrait une suite convergente et on note sa limite X




Et ensuite, en combinant les deux :





(en posant )

[0577]

Bonjour,

une simple remarque qui peut parfois servir: la preuve de Tryss montre qu'une suite de Cauchy avec une valeur d'adherence converge.

[invite09022224]

utilisons le fait que tout compact est fermé;c a d contient tout ses les limites de tout ses suite convergent. donc la sous suit a sa limite dans ce compact.et puis ce que toute suite de cauchy admet une sous suite convergent alors la suite de cauchy est convergent et ver la meme limite (séparé) .cqfd

[A voir en vidéo sur Futura]

[invite0437519a]

Merci infiniment !!