Relations de Comparaisons

[invite43b7340f]

Je suis embêté car je pensais avoir comprit le fonctionnement des petits o et grands O mais il n'en est rien...
Je sais : qu'un petit o implique un grand O ( f=o(g) implique f=O(g)) et
que la formule de Taylor-Young donne des DL avec un reste négligeable devant o((x-a)^n) (ou dominé par O((x-a)^(n+1)) et sa je ne le comprends pas, pourquoi n+1?)

Ainsi on aura par exemple avec Taylor que e(x)=1+x+(1/2)x²+o(x²) au voisinage de 0. Je vois dans mon cour que e(x)=1+x+(1/2)x²+O(x^3) et je ne comprends pas pourquoi il y'a une puissance de 3 et non pas de 2 (puisque o implique O).
Enfin bon, je ne sais pas si j'ai été clair, mais merci pour vos réponses.
-----

[Médiat]

Bonjour, (la courtoisie n'est pas optionnelle sur ce site)

Vous avez raison sur un point : au voisinage de 0, e(x)=1+x+(1/2)x²+o(x²) implique e(x)=1+x+(1/2)x²+O(x²), (il suffit de reprendre les définitions de o et de O)
mais justement, dans le cas de Taylor-Young (et pas uniquement de l'exponentielle), on peut être plus précis et obtenir e(x)=1+x+(1/2)x²+O(x^3).

Pour vous donner un contre-exemple (donc en dehors des hypothèses nécessaires à la formule de Taylor-Young), au voisinage de 0 :

[invite43b7340f]

Excusez moi je suis confus, j'avais déjà poster ma question sur un autre site et le "Bonjour" a sauté au ctrl c.
Merci pour votre réponse qui m'a bien éclairé.
Donc si j'ai bien compris, dans le cas de la formule de taylor on peut écrire sans problème o((n-a)^n), O((n-a)^n) ou O((n-a)^(n+1)) ?
(dans le cas du grand O l'ajout d'une puissance de 1 est possible et ce afin d'etre plus précis).

[Médiat]

J'ajoute juste : si les conditions de derivabilité sont vérifiées (jusqu'à n pour le o(x^n) et jusqu'à n+1 dans le cas du O(x^(n+1)).

C'est la différence entre Taylor-Young et Taylor-Lagrange

[A voir en vidéo sur Futura]

[invite43b7340f]

Merci bien!