exercice sur endomorphisme

[invite92af13bf]

Bonjour, voici un exercice que je n'arrive pas à résoudre. Merci de m'aider.
Voici l'énoncé :
Soit f l'endomorphisme de R³ dont la matrice dans la base canonique B={e₁,e₂,e₃} de R³ est A =
( 9 . 1 . 6
-7 . 1 . -6
-10 . -1 . -7)

On note Id l'application identité de R³ : pour tout (x,y,z) dans R³, Id(x,y,z)=(x,y,z)

1. Exprimer f(x,y,z) lorsque (x,y,z) est dans R³.
2. Montrer que D=ker(f+Id) est une droite dont on donnera un vecteur directeur u₁.
3. Montrer que D'=ker(f-2Id) est une droite dont on donnera un vecteur directeur u₂.
4. Trouver un vecteur u₃ tel que f(u₃)=u₂+2u₃.
5. Montrer que la famille B'={e₁,e₂,e₃} est une base de R³.
6. Donner la matrice de f dans la base B'.
(on pourra remarquer que si p est un réel ker(f-p*Id)={u appartient à R³ | f(u)=pu} .)
7. L'endomorphisme f est-il injectif, surjectif, bijectif ?

Cordialement,
Kerf
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[NicoEnac]

Bonjour,

Où en es-tu dans cet exercice ? Sur quoi bloques-tu ?

Pour la 1), il suffit de considérer un vecteur V = (x,y,z) et d'appliquer la "multiplication matricielle" (je ne sais pas s'il s'agit du terme exact) :
A.V = ...
Ce qui te donne 3 équations à 3 inconnues.

[invite92af13bf]

Pour celle-ci j'avais pas de souci mais après je bloque complètement avec les noyaux(ker) dans les questions 2 et 3 !

[inviteaf1870ed]

Il faut chercher un vecteur x tel que f+Id(x)=0, autrement dit f(x)+x=0 ou f(x)=-x. C'est un simple système à résoudre...

[A voir en vidéo sur Futura]

[PlaneteF]

Bonsoir,

(...) je bloque complètement avec les noyaux(ker) (...)

... Pourtant avec le pseudo que tu as !