Endomorphisme de R[X]

[invite39ac77b7]

Bonjour ,
Voilà l’énoncé:
On considère l'application:
: R[X]-->R[X]
P |-->P-XP'
1) Vérifier que est un endomorphisme de R[x]
2)Déterminer Ker et Im

Ma réponse:
1) Soit P=a₀+a₁X+a₂X²+...+a_nXⁿ

(P)=a₀+a₁X+a₂X²+...+a_nXⁿ-X(a₁+2a₂X+3a₃X²+...+na_nX^n-1)


2)


(P)=a₀+a₁X+a₂X²+...+a_nXⁿ-a₁X-2a₂X²-3a₃X³-...-na_nXⁿ

(P)=a₀+(a₁-a₁)X+(a₂-2a₂)X²+(a₃-3a₃X³)+...+(a_n-na_n)Xⁿ

(P)=a₀-a₂X²-2a₃-X³-...-(n-1)a_nXⁿ

or (a₀,0*a₁,-a₂,-2a₃,...,-(n-1)a_n)∈R

Donc P-XP'∈R[X]

Donc est un endomorphisme de R [X]

2) Ker ={ P∈R[X] | P-XP'=0}

=>
Ker ={ P∈R[X] | a₀-a₂X²-2a₃-X³-...-(n-1)a_nXⁿ=0}
Ker ={ P∈R[X] | a₀x(1,0,...,0,...)-a₂(0,0,1,0,...,0,...)-2a₃(0,0,0,1,0,...,0,...)-...-(n-1)a_n(0,...,0,1,0,...,0,...)=0}
Ker ={ P∈R[X] | (a₀,-a₂,-2a₃,...,-(n-1)a[SUB]n)∈R}
DONC
Ker =vect{(1;0;-1;-2;-3;-4;...;-(n-1)}

et Im =?????

Pouvez vous vérifier et m'aider pour la suite SVP
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[invite705d0470]

Bonjour.
1°_ Avec ce que tu as écrit, tu as seulement montré que u est une application de dans lui même. Il ne faut pas oublier, même si c'est ici trivial, de montrer la linéarité de l'application (deux lignes suffisent, mais ils vaut mieux les écrire !).

2°_ Euh, si P est de la forme , alors .



Du coup, et donc on obtient plutôt que .

Pour l'image, une petite intuition te permet d'aller vite. Si tu le vois directement, tu peux montrer que :
- tu as immédiatement , ce qui te donne l'inclusion de droite à gauche.
- Par l'écriture même de u(P) avec P un polynôme de degré n d'après (1) , tu as l'autre inclusion, et par suite le résultat.
(en fait, c'est une sous famille de la base de , elle est donc libre. Il suffit de montrer qu'elle est génratrice de Im(u), c'est le deuxième point)


Sinon, l'idée peut venir d'un raisonnement sur (application restreinte aux polynômes de degrés inférieurs à n). C'est aussi un endomorphisme (ce qui traduit la stabilité de l'application), et il possède le même noyau (sauf pour le cas n=0 qui donne un noyau réduit au singleton 0 bien sûr).
Etant en dimension finie, tu as alors par la formule du rang, tu sais donc que l'image de est de dimension n. On note .
Or, toujours d'après (1), tu sais que est génératrice de Im(u). Sachant qu'elle est de cardinal n, c'est donc une base de .
On a donc parfaitement défini l'image et le noyau de .
Dans l'idée, (ce qui reste cohérent car la suite des images est clairement croissante pour l'inclusion , et par conséquent l'union de ces espaces vectoriels est toujours un espace vectoriel). Et arrivé ici tu penses naturellement à la base infinie proposée plus haut.


Enfin, on peut remarquer que .

J'espère avoir été clair.
Peut être existe-t'il des manières plus rapides d'arriver au résultat, mais en voilà deux (en fait une seule dans l'idée).

Snowey

[PlaneteF]

1) Soit P=a₀+a₁X+a₂X²+...+a_nXⁿ

(P)=a₀+a₁X+a₂X²+...+a_nXⁿ-X(a₁+2a₂X+3a₃X²+...+na_nX^n-1)

Pour être précis et rigoureux dans la rédaction de la solution, il faut regrouper les termes en X^j pour avoir la forme d'un polynôme conformément à sa définition. Tel que tu présentes le résultat "on ne voit pas" explicitement la forme d'un polynôme (même si c'est évident), et donc pas le "endo" de l'endomorphisme (ou sinon tu précises les propriétés d'addition/multiplication de polynômes).

Ensuite il faut monter que c'est un morphisme comme précisé par Snowey.