Problème statistique échantillonnage

[invitea3396dc0]

Bonsoir,

J'ai un problème de statistique sur l’échantillonnage, j'ai vraiment du mal à comprendre les questions, je ne cherche pas une solution toute faite mais plutôt que quelqu'un m'éclaire..

au Moyen Âge, les pièces frappées par le trésor anglais voyaient leur qualité
évaluée lors du Trial of the Pyx. Cette épreuve consistait à choisir un échantillon de pièces, de les peser, et d’infliger une punition au Maître des Monnaies si le poids total des pièces ne dépassait pas le poids prescrit,
moins une tolérance. Sous l’hypothèse que le Maître des Monnaies est honnête, et n’a pas
détourné une partie du métal précieux, le poids de chaque pièce suit une N (128, 1).

1. Si 100 pièces sont échantillonnées lors de ce test, quelle doit être la valeur de la
tolérance si le pouvoir Britannique veut limiter à 1 % la probabilité qu’un Maître des Monnaies honnête soit puni ?

2. Avec la procédure que vous avez construite dans la question 1, quelle est la probabilité
de détecter un Maître des Monnaies malhonnête qui empoche 0,1 grammes d’or par
pièce ?

3. Combien faudrait-il que le Maître des Monnaies empoche par pièce pour que la probabilité
de détecter la fraude soit de 50 % avec la procédure envisagée ?

4. Que se passerait-il si, au lieu de 100 pièces, on en sélectionnait 1 000 ? et 10 000 ?

Si je comprends bien le poids de chaque pièce suit une loi normale (128,1) :
la moyenne = 128 et l'écart type = 0,1 ( 1/racine 100)
ici l’échantillon est de 100 ( 100 pièces d'or )

pour la première question on demande de calculer P (X<ou= à 1 ) ?
j'avoue être un peu perdu
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[phys4]

le poids de chaque pièce suit une N (128, 1).

1. Si 100 pièces sont échantillonnées lors de ce test, quelle doit être la valeur de la
tolérance si le pouvoir Britannique veut limiter à 1 % la probabilité qu’un Maître des Monnaies honnête soit puni ?

Si je comprends bien le poids de chaque pièce suit une loi normale (128,1) :
la moyenne = 128 et l'écart type = 0,1 ( 1/racine 100)
ici l’échantillon est de 100 ( 100 pièces d'or )

pour la première question on demande de calculer P (X<ou= à 1 ) ?

Bonjour,
Pas de défaut dans le raisonnement, il faut utiliser la table de la distribution normale pour donner la valeur limite qui correspond à un résidu de 0,01 vers le bas, ce qui devrait vous donner 127,76.....

Arrivez vous à cette valeur ?
Tout l'exercice repose sur l'utilisation de la table.

[gg0]

Bonjour Berrichi_m.

le risque qu'un maître de monnaie soit injustement puni est qu'un échantillon de 100 pièces "normales" (*) pèse moins que la limite admise, a. Donc si on note X le poids d'une pièce non trafiquée, X suit la loi Normale (*) N(128;0,1) et on cherche le a tel que P(100X<a)=1%.
Après, le reste est de la mise en oeuvre technique : Loi de 100X, transformation de la condition, ...
Pour la question 2, le maître de monnaie fait des pièces de 127,9 g, donc la loi de X est maintenant N(127,9;0,1), mais le a est connu, c'est celui de la question 1.

Bon travail !

(*) "normal" est l'adjectif au sens habituel, "Normal" est le nom (malsain) donné au dix-neuvième siècle à la loi de Gauss.

[invite179e6258]

une remarque inutile : j'ai horreur de ces problèmes où on te raconte toute une histoire (c'est tout juste si on ne précise pas le nombre de coups de fouet imposés aux tricheurs) pour en arriver à la question mathématique.

[A voir en vidéo sur Futura]

[gg0]

Effectivement,

ce n'est pas un exercice de probabilités, mais de modélisation (ici en grande partie faite). C'est une grande tradition dans les probabilités à bas niveau.
C'est aussi une mode : faire des problèmes "concrets"; ce qui aboutit à des énoncés idiots, voire à des modélisations aberrantes (loi exponentielle pour le temps d'arrivée du prochain bus !!!).

Cordialement.

[invitea3396dc0]

Bonsoir gg0 et phys4,

Merci pour vos conseils, je vais essayer de commencer maintenant.

Cordialement.

[invitea3396dc0]

Après quelques recherche pour trouver un cours, j'ai pu formaliser un debut :

Le poids de chaque pièce suit la loi N (128,1) :

donc si X --> N(128,1) alors T --> N(0,1) avec t = x-µ/ ecart type

comme m'a dit ggO ici je dois chercher a, P(100X<a) = 1%

donc je dois remplacer X par T, seulement le facteur 100 me pose problème..

en effet 100(X-128)/1 n'est pas égal à T.

[invitea3396dc0]

Remarque : cette technique ne fonctionne pas puisque on se retrouverait avec P ( T< a) = 0,01. et donc a reste inconnu

[gg0]

Bonsoir.

1) Cette technique marche bien, car P ( T< a) = 0,01 est simplement une équation d'inconnue a.
2) Ce n'est pas X qui nous intéresse, mais Y=100 X. Tu dois avoir des cours qui te disent que si X est une variable aléatoire gaussienne, alors pour a réel non nul et b réel, aX+b est une variable aléatoire gaussienne. ici, avec a=100 et b=0, on voit que Y suit une loi Normale dont je te laisse calculer la moyenne et l'écart type. puis tu appliques les méthodes.

Bon travail !

[invitea3396dc0]

Bonjour,

Je ne dispose pas d'explication de cours le prof est très rapide et se contente simplement d'écrire les formules..
J'ai au final une quantité de formules dont je ne sais quoi faire !

pour la moyenne j'ai : E [Xn] = µx
pour la variance j'ai : Var (Xn) = 1/n sigma²

si y= 100X

E [100X] = 100 E[x] mais après ??

est-ce que µx = 128x ?

Cordialement

[gg0]

Ok.

On montre (avec par exemple la définition d'une loi Normale et les propriétés des moyennes et variances) quie si X suite la loi Normale de moyenne my et d'écart type sigma, alors Y=kX suit la loi Normale de moyenne k.mu et d'écart type |k|.sigma.
Donc ici tu connais la loi de Y, il ne reste plus qu'à calculer.

Cordialement.

NB : Si le cours de ton prof ne te suffit pas, cherche un autre cours sur un bouquin, ou sur le net avec ton moteur de recherche favori.

[invitea3396dc0]

Bonjour,

j'ai réussi a pondre quelque chose, je viens de lire votre post et j'ai l'impression que je ne suis plus très loin :

X----> N (128,1) E(X)=µ et V(x) = sigma²

donc nous avons dit y= 100x + b soit y= 100X

E(y)= E(100X) = 100 E(X) = 100 x 128 = 12 800

V(y) = V(100X) = 1000 V(X) = 1000 x 1 = 1000

Y ----> N (12 800, 1000)

Maintenant comment faire le rapprochement avec la question 1 ?

[invitea3396dc0]

Correction : Y ----> N (12800, 31,622)

[gg0]

Attention,

100 fois 1, ça fait 100, pas 1000 ni 31,622.

Si tu notes la loi Normale par N(mu, sigma²), alors comme on multiplie sigma par 100, ça multiplie sigma² par 10000, et la loi est N(128, 10 000).

[invitea3396dc0]

J'ai essayé de reprendre un exercice en réajustant les données, il faut croire que je me suis planté quelque part..

Vraiment j'ai tout essayé je comprends pas : je refais mon calcul et j'obtiens Y--> N(12800, 100)

supposons que je trouve enfin la loi normale de Y

comment fait-on pour la probabilité de la question ? je ne vois pas ou est le rapport avec la question

[gg0]

" j'obtiens Y--> N(12800, 100). Ok !

Maintenant que tu as rectifié, ça devrait aller tout seul. mais je ne comprends pas :
"supposons que je trouve enfin la loi normale de Y" ??

Cette phrase ne veut rien dire ! Pourquoi supposer ? et Y n'a pas de loi Normale, la loi de Y est la loi Normale.

Donc il te suffit de revenir à la condition et de la traiter comme d'habitude (passage par la loi Normale centrée réduite, usage de la table ou d'un outil de calcul, etc..). C'est à toi de le faire (c'est toi qui apprends).

Cordialement.

[invitea3396dc0]

Désolé je prends tellement de données de tous les cotés que je suis un peu confus mais ca va rentrer.

Je reprends et j'essaie de voir ce que je peux faire.

En tout cas merci beaucoup pour votre aide.

Cordialement

[invitea3396dc0]

Mon résultat est peu cohérent :

on cherche P(x<a) = 0,01 X-->N(12 800,100), T-->N(0,1) avec T = x-µ/sigma

P(x<a) = 0,01

P (x-12 800/100 < a-12 800/100) = 0,01

P (T < a-12 800/100) = 0,01

je regarde la table de distribution normale P 0,01 = 0,5040

a-12 800/100 = 0,5040 ====> a = 12 850,4

ca ne me semble pas juste

[gg0]

Effectivement :

Voici un extrait de l'énoncé :

le poids de chaque pièce suit une N (128, 1).

1. Si 100 pièces sont échantillonnées lors de ce test, quelle doit être la valeur de la
tolérance si le pouvoir Britannique veut limiter à 1 % la probabilité qu’un Maître des Monnaies honnête soit puni ?

A ton avis, va-t-on demander que les pièces fassent moins de ou plus de ?
Manifestement, on demandera que les pièces ne soient pas trop légères, afin d'être sûr que le maître des monnaies ne se soit pas mis de l'or dans les poches.
Donc on s'attend à ce que a soit inférieur à 12800.
Or 0,01 est une probabilité, et tu as utilisé le fait que P(T<0,01)=0,5040 où 0,1 est une valeur (de T) et la probabilité est 0,5040. Tu as inversé le fonctionnement de la table.

Donc à toi de reprendre ce que tu as fait à partir de P(Y>a)=0,01 (Il n'y a pas 0,01 dans la table, mais pour la fonction de la table, la valeur pour -u est la probabilité 1- la valeur pour u; Donc on utilise la valeur pour la probabilité 0,99 en changeant de signe).

Cordialement.

[invitea3396dc0]

Je devrais donc trouver comme equation :

a-12800/100 = - 0,8385 et donc a = 12 716,15

Si je formalise ainsi c'est donc faux :

P (Y>a)=0,01

P(Y-12800/100 > a-12 800/100) = 0,01

or P(Y>a)= 1-P(Y<a), on sait que P(Y>a)=0,01 donc 1 - 0,01 = 0,99

P(Y-12800/100 < a-12 800/100) = 0,99

a-12 800/100 = 0,8389

[gg0]

"Je devrais donc trouver comme equation :

a-12800/100 = - 0,8385 et donc a = 12 716,15" ???

Non, pourquoi ça ?

Et dans la suite, une partie du calcul semble fonctionner (en rajoutant les parenthèses nécessaires) :
"P (Y>a)=0,01" ça c'est faux, c'est y<a qu'il faut !!

"P((Y-12800)/100 > (a-12 800)/100) = 0,01

or P(T>a)= 1-P(T<a), "

la suite est un peu n'importe quoi : "on sait que P(Y>a)=0,01 donc 1 - 0,01 = 0,99 "
mais on en déduit P((Y-12800)/100 < (a-12 800)/100) = 0,99
et (Y-12800)/100 suit la loi Normale centrée réduite, donc on peut utiliser la table. Mais pas comme tu le fais, puisque tu l'a encore prise à l'envers. Et ça, je ne peux pas le changer : Tant que tu travailles avec une table (ou un logiciel) en confondant les valeurs et les probabilités (*), je ne peux rien pour toi.


Donc 2 choses :
* tu reprends le calcul soigneusement (tu passes ton temps à copier de travers, ce n'est pas normal, fais attention).
* Tu apprends à calculer les probabilités de la loi Normale centrée réduite.

Cordialement.

(*) Dans la table, c'est pourtant évident : 2, ce n'est pas une probabilité !!!