Caractère d'un sous groupe fini

[invite282d0678]

Bonjour,

Je n'arrive pas à débuter avec cet exerice :
(G,*) un groupe d'ordre n. Montrer que tout caractère de G (ie tout morphisme de groupes de G dans C*) prend ses valeurs dans le sous-groupe des racines n-ième de l'unité.

Tout ce que je vois en rapport avec ce sous-groupe, c'est que comme G est fini l'on sait que pour tout x de G il existe d qui divise n tel que x^d=1 et même x^n=1. Mais après ... De l'aide serait la bienvenue.
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[invite332de63a]

Bonjour, essaye de montrer que tout sous groupe fini de C* pour la multiplication est de la forme ensemble des racines n-ième de l'unité. Ton résultat est direct ensuite.

[invite282d0678]

Bonjour, pour la même raison que j'ai évoqué au dessus (tout élément z d'un sous groupe fini de C* on a que z^n=1, et tout élément de est de cette forme) ? Mais je suis pas sur que ça soit suffisant ... Si ça l'est, pour tout caractère de G, on a que, et et donc prend ses valeurs dans .

[invite282d0678]

En fait c'est tout bon j'ai compris, merci.

Mais je bloque sur un autre truc. Il faut montrer que tout caractère de G vérifie que pour tout x de G, . Mais ce qu'il y a déjà, c'est que j'ai du mal avec les classes d'équivalences et j'ai du mal à me représenter ce que c'est ... Si quelqu'un pouvait déjà juste m'éclairer là-dessus.

[A voir en vidéo sur Futura]

[Seirios]

Bonjour,

est un morphisme, donc ; or tu viens de montrer que est une racine n-ième de l'unité, donc en particulier est de module 1. Donc...

[invite282d0678]

Bonjour, non je ne vois pas ...
Mais encore une fois, c'est surtout qui me pose problème, je ne vois pas ce que ça représente.

[inviteaf1870ed]

Hint : si on note z* le conjugué de z, alors zz*=|z|², ce qui dans le cas particulier des racines de l'unité donne un résultat intéressant...

[invite282d0678]

Bonjour, hmmm oui bien sur -_-. Merci.