Calcul d'une intégrale (type gaussienne)

[invite945d3fbd]

Bonjour a tous,
Je bloque sur une intégrale, je ne vois pas vraiment comment la résoudre malgré l'aide d'une personne.
Voila pour calculer la matrice de covariance de la loi multinormale je dois calculer le terme ou les variables aléatoires X et Y ont pour densité de probabilité une gaussienne.
J'ai que , c'est cette intégrale qui me tracasse.
On m'a dit d'utiliser le changement de variables et et que ca allait etre un jeu d'enfant.
J'ai donc essayé ce changement de variables mais ca n'a simplifié qu'un peu l'argument de l'exponentielle et compliqué grandement le terme "xy" qui multiplie l'exponentielle. L'intégrale résultante ne me semble pas plus simple a évaluer.
J'aimerais bien avoir des idées de comment l'évaluer. Merci bien.
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[invite63e767fa]

Quelle intégrale as-tu obtenu après avoir fait le changement de variables ?

[invite63e767fa]

Pour aller un peu plus loin :
Tu intègres d'abord l'intégrale en alpha (page jointe - A vérifier ! )
Ensuite, à toi de jouer : L'intégrale en beta se décompose en une somme d'intégrales que l'on sait calculer.

[invite63e767fa]

Voilà mon résultat final. Avec un peu de chance, on trouvera tous deux la même chose !

[A voir en vidéo sur Futura]

[invite945d3fbd]

Bonjour JJacquelin. Merci infiniment pour ta réponse, je dois dire que je ne m'attendais pas a tant de détails. C'est beaucoup plus compliqué que ce que je croyais. Il va me falloir plusieurs jours pour digérer tout ca!