convergence de séries

**Floria** · 27/10/2012, 13h04

Bonjour!
J'ai un petit problème pour l'étude d'une série:
$\text{[math]}$

j'ai réussi à la décomposer an deux fonctions:
$\text{[math]}$
seulement voilà: la première converge, mais le seconde diverge, du coup je ne sais pas quoi dire pour Un...
La question exacte est: étudier la convergence et la convergence absolue des séries suivantes
avec comme indication utiliser le DL en 0 de (1+x)^(-1) et sin(x) (car la deuxième série est de la forme sin(1/n)+Un où Un est le terme général de la première)
Donc j'ai bien utilisé le DL en (1+x)^(-1) pour décomposer ma suite, mais après je suis bloquée...
Je pensais dire que $\text{[math]}$ et donc converge, mais il me semble bien que pour ça il faudrait que $\text{[math]}$ non?

Bref, je vois pas comment avancer et j'en ai besoin pour la seconde série....

**gg0** · 27/10/2012, 14h43

Bonjour.

Si ta série est bien :
$\text{[math]}$
alors, en groupant les termes successifs par 2, j'obtiens (vérifie) une série négative dont les termes sont équivalents à $\text{[math]}$ .
D'où une divergence assurée.

J'ai commence avec n=2, car le dénominateur s'annule pour n=1.

Cordialement.

NB : Je n'ai pas trop compris tes calculs, avec ta décomposition en "deux fonctions" alors qu'il y a trois termes dans ta somme, et que le dernier compte sérieusement.

**Floria** · 27/10/2012, 15h41

pour ma décomposition, j'ai utilisé l'indication comme quoi il faut utiliser le DL en $\text{[math]}$ de $\text{[math]}$ .
Ce qui donne:
$\text{[math]}$
On utilise ici le développement limité: $\text{[math]}$ avec $\text{[math]}$
D'où $\text{[math]}$
Et on se retrouve avec $\text{[math]}$
Or $\text{[math]}$ converge par le critère des séries alternées (sa limite en $\text{[math]}$ vaut 0 et elle est décroissante en valeur absolue). Mais 1/n+o(1/n) diverge (série de Riemann 1/n^a avec a=1).
Je vois pas comment on pourrait utiliser le DL de (1+x)^-1 autrement.
D'autre part, mon énoncé indique que la série commence à n=1, mais je pense que c'est une erreur car, comme tu l'as dit, le dénominateur est nul pour n=1.
Et sinon, en groupant les termes par deux comme tu l'as dit, je trouve bien comme toi, mais du coup la série change non? Je veux dire, pour pouvoir regrouper par deux, il faut aller de 2 en 2 du coup...
ça me donne ça: $\text{[math]}$
Je t'avoue que ça m'embête un peu parce que, effectivement, vu comme ça, on peut dire que ça diverge, mais du coup on n'utilise pas l'indication (et avec cette prof là, il faut mieux faire comme elle veut, en général^^)

**breukin** · 27/10/2012, 16h02

La somme d'une série convergente et d'une série divergente, c'est bien une série divergente, non ?
L'exercice est intéressant car il montre qu'une série peut être divergente alors que la série des termes équivalents est convergente.

A voir en vidéo sur Futura · Aujourd'hui

**gg0** · 27/10/2012, 16h22

Non ça ne donne pas ça :
$\sum_{n=2}^\infty \frac{(-1)^n}{\sqrt{n}+(-1)^n}=\sum_{2n=2}^\infty \frac{-2}{n-1}$
car dans deux termes successifs, la valeur de n change.

D'autre part, je n'examine même pas la série, mais les sommes partielles d'ordre pair (comme U_n tend vers 0, ça suffit), qui tendent vers moins l'infini.

Mais si ta prof demande d'utiliser une méthode, utilise-la. Je trouve le même développement de u_n.

Cordialement.

**Floria** · 27/10/2012, 18h10

ah oui c'est vrai -_-

Bon alors du coup j'ai continué avec ma décomposition, et j'ai seulement dit que la somme d'une série convergente et d'une série divergente était divergente. Seulement, j'ai comme un doute...
Ma deuxième série, c'est $\text{[math]}$
Et donc....et bien j'ai juste dit que $\text{[math]}$ est divergente, donc la somme des 2 séries est divergente.
Or, en faisant comme ça, je n'ai pas besoin d'utiliser le DL en 0 de sin(x)....donc j'ai peur qu'il y ait une erreur quelque part.
D'autant que la question est d'étudier la convergence simple ET la convergence absolue des deux séries. Alors que là....ben j'ai juste dit que les séries divergent donc elles ne peuvent pas converger absolument, et donc elles divergent absolument.

En bref, ce que j'ai fait me paraît bien, mais pas très en adéquation avec l'énoncé et les indications...

Ensuite (parce que ce n'est pas fini, mouhahaha), il y a un deuxième exercice, dont l'énoncé est un peu plus compliqué:
Soit (an) et (bn) deux suites. On note $\text{[math]}$ et $\text{[math]}$ .
On suppose que la suite (an) décroit vers zéro et que la suite (Bn) est majorée par c>0.

Question 1) j'ai réussi mais je vous la mets quand même parce qu'on s'en sert pour la suite.
Montrer que pour $\text{[math]}$ et $\text{[math]}$ on a
$\text{[math]}$

Question 2)
En déduire que pour tout $\text{[math]}$ on a:
$\text{[math]}$
ça, j'y arrive pas. D'abord, le fait que ce soit pour tout $\text{[math]}$ et pas pour tout $\text{[math]}$ m'embête, ensuite la somme des a_k-a_k+1 me gêne. Je mettrais bien que la suite des (a_n) converge vers 0, mais la prof m'avait dit que c'était pas suffisant comme justification pour enlever la somme. Or avec elle les justifications sont plus importantes que les résultats.

Pour la question 3, il faut montrer que $\text{[math]}$ est de Cauchy et converge.
J'ai montré que (S_n) est de Cauchy (en utilisant juste l'inégalité de la question 2 et le fait que (a_n) converge vers 0 donc pour n assez grand |a_n-0|<epsilon). Comme (S_n), elle converge, et donc $\text{[math]}$ converge.
Seulement, je vois pas bien comment montrer que $\text{[math]}$ est de Cauchy (je veux dire, une série de Cauchy, c'est possible?? Si j'applique la définition des suites de Cauchy, je suis obligée d'utiliser les sommes partielles, donc Sn...Bref, ça me perturbe)

Enfin, pour la question 4, c'est plus une question de notation:
Il s'agit de montrer que $\text{[math]}$ (juste l'inégalité, pas r_n)
J'ai donc dit que $\text{[math]}$
Mais voilà, est-ce que je peux vraiment écrire $\text{[math]}$ ??

Voilà voilà! Au final j'ai quasiment tout fait mais j'ai toujours des doutes....
C'est un DM à rendre après les vacances, donc j'aimerais pouvoir bien rédiger tout ça. ( et quand on doute c'est difficile de bien rédiger clairement).

**gg0** · 27/10/2012, 18h32

Là, je ne comprends plus !

"Ma deuxième série, c'est $\sum_{n=1}^{\infty} (sin(1/n)+\frac{(-1)^n}{\sqrt{n}+(-1)^n} )$ "
Donc c'est un autre problème que celui que tu présentais !! Et comme sin(1/n) est équivalent à 1/n, il y a une simplification.
Tu as intérêt à aller voir de près, même si "la somme d'une série convergente et d'une série divergente" est vrai, là tu as la somme de deux séries divergentes. Que penses-tu de :
$\text{[math]}$
Pour la suite, une remarque déjà : Il y a des valeurs absolues en trop, puisque la suite a "décroît vers 0". Ce qui devrait t'aider .. ce qui est bien plus fort que "Je mettrais bien que la suite des (a_n) converge vers 0".

Si je comprends bien tu démontres dans cet exercice ce qu'on appelle le "critère d'Abel".

Pour la question 3, je te rappelle qu'une série est ... une suite. C'est donc la suite des sommes partielles qui est de Cauchy. Et en fait, tu l'as déjà montré ! Dans la question 4, ton $S_{\infty}$ n'est pas très sérieux. Alors qu'il te suffit de remplacer cette idée intuitive par un calcul de limite (l'infini, c'est toujours atteint par une limite).

Cordialement.

**Floria** · 27/10/2012, 18h51

Pour l'exercice 1, le problème, c'est que j'ai deux séries à étudier, je vous avais mis que la première tout à l'heure.
La première est $\text{[math]}$
Et la seconde est $\text{[math]}$

Mais tu as raison, j'avais pas fais attention à la divergence de sin(1/n).

Pour la suite, j’essaierais ce que tu m'as dit demain (là je me suis fait enlever par mes frères pour jouer au monopoly^^)
Merci de ton aide!

**breukin** · 28/10/2012, 08h05

La technique, dans ces cas là est de faire un DL du terme général.
Attention : il faut le faire suffisament loin : il n'est pas suffisant de s'arrêter à $\text{[math]}$ : $\text{[math]}$ en est un et est divergent.

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