Fonctions de classe C(k) et k fois dérivables

[invited4743cb4]

Bonjour,
j'aimerais une petite précision sur les fonctions de classe C^k : pourquoi ne peut-on pas confondre "de classe C^k sur I" et "k fois dérivable sur I" ?
Si f est une fonction C^k sur I, alors elle est k fois dérivables sur I.
Si f est k fois dérivable sur I, alors est n'est pas forcément de classe C^k sur I ? Si c'est bien pour cela qu'on ne peut confondre "de classe C^k sur I" et "k fois dérivable sur I", pourriez vous me donner un exemple (si possible simple...) pour confirmer cela ?

Une autre question : lorsque qu'on dit qu'une fonction est de classe C^k sur I, alors elle k fois dérivable est sa k^ème dérivée est continue sur I : mais cela implique-t-il que sa k-1^ème dérivée soit continue sur I ?
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[Seirios]

Bonjour,

Une fonction de classe est, par définition, une fonction k fois dérivable dont la dérivée k-ème est continue. En particulier, les dérivées n-ème d'une telle fonction sont continues pour n<k puisque dérivables.

Ensuite, pour trouver une fonction de classe , dérivable masi qui n'est pas de classe , tu peux regarder (avec un prolongement par continuité en 0).

[invited4743cb4]

Avec la fonction que tu m'as donnée : f est dérivable sur R\{0}=I
et pour tout x appartenant à I, f'(x) = 2x*sin(1/x) - cos(1/x). Or f'(x) est continue sur I, non ? Je ne comprends donc pas...

[Seirios]

C'est en 0 qu'il faut regarder : f se prolonge naturellement par continuité.

[A voir en vidéo sur Futura]

[gg0]

Bonjour.

pour une fonction sur [-1, 1] mais pas deux fois dérivable : .

Cordialement.