topologie préfaible

[invite3106b0ae]

Bonjour,

On sait que l’on peut plonger un espace normé X dans son bidual via l’évaluation qu’on note j. Si X n’est pas réflexif i.e. j(X) est différent du bidual de X. Je ne sais pas commet prouver que j(X) est un convexe fermé non préfaiblement fermé… Le caractère non préfaiblement fermé de j(X) me semble compliqué… ?

Merci beaucoup.
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[Seirios]

Bonjour,

Une première remarque : pour que j(X) soit fermé dans le bidual, il faut supposer que X est un espace de Banach (si j(X) est fermé, il est complet, et comme j est une isométrie, nécessairement X doit également être complet).

[Seirios]

Je note et les isométries canoniques.

Supposons par l'absurde que soit faiblement* fermé dans X**. Comme X n'est pas réflexif, il existe un point en dehors de , et en utilisant un théorème de séparation, il existe non nulle mais nulle sur . En particulier, il existe telle que . Alors pour tout , . Par conséquent, et donc , ce qui est contradictoire.

Remarque tout de même que reste faiblement fermé, ce qui montre au passage que si n'est pas réflexif, les topologies faible et faible* sur sont distinctes.