Intégrale de Gauss

[invitecef3c426]

Bonsoir, une question d'un exercice me pose problème :

Je résume ce qui a été fait dans le début de l'exercice: On a In=int 0->1 ((1-x²)^n) dx et Jn=int 0->inf (1/(1+x²)^n)dx

On a I=int de 0 -> infini ( e^-x²)dx qui converge et qui est encadrée par 2/3 et pi/2. Cela a été montré grace au fait que sur [0;1] 1-x² < e^-x² et que sur [0;inf[ on a e^-x² < 1/(1+x²)

Ce sont des inférieurs ou égales (pour alléger la notation j'ai mis seulement "<")

Dans la dernière question on me demande en admettant que Wn= int 0->(pi/2) (sin^n(x) dx) équivaut à racine(pi/2n) de montrer que :

racine(pi*n/2(2n+1)) < I < racine(pi*n/2(2n-2)) (Dans la deuxième question on a aussi montré que In=W2n+1 et Jn=W2n-2 meme si à mon avis il y a une erreur d'énoncé car je n'y suis pas parvenu)


Ce que j'ai fait: On a I encadrée par 2/3 et pi/2 soit par I1 et J1 et on veut arriver à encadrer I par racine(n)*W2n+1 et racine(n)*W2n-2

On sait que I1=W3 et J1=W0 mais après calculs ca n'avance à rien.

Merci de votre aide (pardon pour l'écriture). Au revoir.
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[invitecef3c426]

A l'aide gg0 ou je ne sais qui

[gg0]

Bonjour.


A priori, il faut utiliser les résultats de la deuxième question. Je trouve assez gonflé ton

à mon avis il y a une erreur d'énoncé car je n'y suis pas parvenu

Qui es-tu pour dire "ce que je ne sais pas faire est faux" ? Aucun mathématicien honnête ne pourrait le dire.

Sans un énoncé clair, difficile de t'aider. Tu pourrais au moins écrire en LaTeX tes intégrales, ou scanner l'énoncé.

[invitecef3c426]

Bonjour,

Si j'ai dit ca c'est que quelqu'un d'autre a trouvé comme moi et en a conclu la meme chose apres avoir vérifié plusieurs fois son calcul.

Je pense aussi qu'il faut utiliser la question deux mais sans succès, la ou je suis je n'ai pas de scanner.

[A voir en vidéo sur Futura]

[0577]

Bonjour,

pour encadrer I par I_1 et J_1, tu as utilise


Pour faire apparaitre I_n et J_n, il suffit d'elever cette inegalite a la puissance n.

Ensuite, on utilise la deuxieme question pour estimer I_n et J_n (question dont l'enonce me semble
correct ...)

[invitecef3c426]

Si j'élève à la puissance n j'ai en effet In et Jn sauf que j'aurai sauf que ca veut dire aussi qu'on aura e^-nx² qui n'est pas I.

D'autre part, si on élève seulement I1 et J1 à la puissance n on a en effet In et Jn mais rien nous dit que ca encadre I

[inviteaf1870ed]

Si j'élève à la puissance n j'ai en effet In et Jn sauf que j'aurai sauf que ca veut dire aussi qu'on aura e^-nx² qui n'est pas I.

Il y a peut être un changement de variable à faire pour retrouver I

J'ajoute que la deuxième question est parfaitement correcte, là encore un changement de variable évident permet de conclure

[invitecef3c426]

Bonjour,

Dans la question précédente on a encadré I par I1 et J1 donc si je dois faire un changement de variable ca veut dire qu'il doit me permettre de trouver I1=racine(n)*W2n+1

et J1=racine(n)*W2n-2 mais je dois avouer que je ne vois pas, aide ??????????????

Ensuite pour la question deux par exemple pour montrer que In=W2n+1 j'utilise le changement de variable x=cos t maisje n'arrive pas à W2n+1 :

Ca me donne (j évite d 'écrire les bornes par alléger l écriture, au début c'est de 0 à 1 et ensuite apres le changement de variable c'est 0 à pi/2) :


In=int((1-x²)^n) dx =int((1-cos²t)^n*(-sint)) dt=int((-sint)*(sint)^2n) dt soit int(-sin^2n+1) dt donc j'obtiens -W2n+1 et pas W2n+1


Pour l'autre égalité ca me donne avec le changement de variable x=tan t : In=Int((1+tan²t)/(1+tan²t)^n)dt=int((1+tan²t)^1-n)dt et la pour retrouver du W2n+1 je vois pas à moins d'utiliser une formule trigo mais laquelle, ?????

[invitecef3c426]

J'ai aussi essayé de le faire en partant de Wn mais sans succès

[0577]

Bonjour,

dans le calcul de I_n, il y a un autre signe qui vient de l'interversion des bornes de l'integrale (cos est decroissante sur 0, \pi/2)

pout J_n, 1 + tan^2 = 1/cos^2

[inviteaf1870ed]

Bonjour,

Dans la question précédente on a encadré I par I1 et J1 donc si je dois faire un changement de variable ca veut dire qu'il doit me permettre de trouver I1=racine(n)*W2n+1

et J1=racine(n)*W2n-2 mais je dois avouer que je ne vois pas, aide ??????????????

tu connais l'intégrale de exp(-x²) et tu as exp(-nx²) et tu ne vois pas le changement de variable ????

[invite204ee98d]

L'intégrale de exp(-x²) y'en a pas a moins que je me trompe mais d'apres le theoreme de Liouville on ne peut pas à partir de fonctions usuelles, mais c'est pas grave en fait en posant u=racine(n)*x ca marche

[invite204ee98d]

Oui en fait on veut -u²=-nx²

[inviteaf1870ed]

L'intégrale de exp(-x²) y'en a pas a moins que je me trompe mais d'apres le theoreme de Liouville on ne peut pas à partir de fonctions usuelles, mais c'est pas grave en fait en posant u=racine(n)*x ca marche

Bonjour Dalfred (il fallait bien que quelqu'un s dévoue )

Tu confonds intégrale et primitive. De plus pas besoin de convoquer le théorème de Liouville pour affirmer une chose fausse. La primitive de exp(-x²) existe bel et bien, elle s'appelle la fonction d'erreur, notée erf : http://fr.wikipedia.org/wiki/Fonction_d%27erreur

[invitecef3c426]

ERF est plutot une primitive "inventée"

[inviteaf1870ed]

Pas plus que le logarithme n'est inventé....

[0577]

Bonjour,

definition de "primitive "inventee"" ?

Edit : oups, ericcc a deja repondu ...