Montrer qu'un triplet de 3 polynômes est une famille libre.

[invite93ca7f22]

Bonsoir,

Soit E = R₂[x] l'espace vectoriel des fonctions polynômes de degré inférieur ou égal à 2 et p₁, p₂ et p₃ les fonctions polynômes définies par p₁(x) = x+1, p₂(x) = x-1 et p₃(x) = x²-1.

(i) montrer que (p₁,p₂,p₃) est une base de E.
(ii) Donner les coordonnées de f appartient à E définie par f(x) = x²-5x+4 dans cette base.
(iii) Soit F = {p appartient à E : p(1) = 0}. Vérifier que F est un sev de E et en donner une base.

Pour le (i), j'ai essayé de résoudre l'équation suivante : lambda(x+1) + mu(x-1) + gamma(x²+1) = teta(x) avec teta(x) = 0
Et je me retrouve avec un delta = lambda² + mu² + 4gamma² +2lambda.mu - 4gamma.lambda + 4gamma.mu
Je ne sais pas comment continuer.


Merci pour votre aide, cordialement.
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[gg0]

Pourquoi calculer un discriminant ? Tu cherches x ? il est sous la table

Tu n'as pas à résoudre une équation du second degré, tu as un polynôme de la forme aX²+bX+c qui est le polynôme nul . Tu sais depuis la classe de première quels sont ses coefficients !!

Cordialement.

[gg0]

En fait, tu aurais dû poser :
où est la fontion polynôme nul.
Puis tu en déduis que pour tout réel x ....

Ne jamais confondre le polynôme avec une valeur de la fonction polynôme associé. Ni la fonction polynôme avec une de ses valeurs.

[Seirios]

Bonsoir,

Une autre méthode est de construire une famille de polynômes échelonnée en degré à partir de combinaisons linéaires de tes trois polynômes, ce qui n'est pas bien difficile ici.

[A voir en vidéo sur Futura]