Algorithmes de calcul de l'inverse d'un entier

[invite07035249]

Voici quelques algorithmes de grande convergence de Mendzina Essomba François pour calculer l'inverse d'un entier, différents de celui de Newton
http://racinescarrees.over-blog.com
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[Seirios]

Bonjour,

Je n'ai pas encore regardé la pièce jointe, qui n'est pas encore validée, mais en jetant un oeil sur le blog, il me semble que deux remarques s'imposent : des constantes apparaissent sans aucune précision, et surtout, il n'y a aucune preuve ni aucun développement.

[Médiat]

Bonjour,

Une troisième remarque : aucune indication sur le nombre d'opérations à faire pour obtenir une précision donnée.

[invite07035249]

je n'ai pas encore trouver le temps de bien affiner ma démonstration cependant prenons la première:
on a:
Si l'on soustrait avec, on obtient

Finalement:

Je crois qu'à partir de ce niveau les gens plus avisés peuvent mieux s'y retrouver
Cette dernière remarque est valable pour toutes les autres formules.

[A voir en vidéo sur Futura]

[Seirios]

Que cherchez-vous à montrer avec ce raisonnement ?

[inviteaf1870ed]

Cela ne prouve absolument pas que xn+1 est plus proche que xn de 1/b ?
Par exemple avec b=3 et X0=10, on trouve X1=8130 !

[invite07035249]

La démonstration que j'ai postée est très loin d'être terminée; toutefois c'est dans cette logique.
Une précision qui m'a échappé mérite toutefois d'être faite sur le x_{0}. Ces algorithmes devant calculer l'inverse d'un entier, il devient par conséquent indispensable de prendre un x_{0} dans l'intervalle ]0;1[

[inviteaf1870ed]

Ca ne marchera pas plus car il faut que tous les Xi soient dans ]0,1[.
Par exemple b=10 Xo=1/2, que vaut X1 ?

[sylvainc2]

Avez-vous découvert ces formules vous-même? Je demande ca parce qu'en fait elles sont déja connues. On pose z_n=1-bx_n. Si on veut une convergence à l'ordre k, on se donne un polynome de degré k-1: p(z)=z+z²+z³+...+z^k-1, et on itère x_n+1=x_n+x_np(z_n). Ca donne les formules dans le pdf pour k=2,3,4,5.

[invite07035249]

je les ai trouvé par une autre méthode, toutefois j'ignorais qu'ils étaient connus
Merci pour la remarque:

[invite936c567e]

Bonjour

La remarque de sylvainc2, présentée différemment, donne :

x_n+1 = ( 1 – (1 – b·x_n)^k ) / b

ce qui aboutit, en développant l'expression, à toutes les formules proposées.


Une rapide étude de fonction permet de vérifier que la convergence de ces suites est d'autant plus rapide que k augmente (c.f. dérivée de la fonction en 1/b), et elle met également en évidence les conditions de cette convergence : pour b>0, il est nécessaire de prendre 0<x₀<2/b , sans quoi la suite diverge.

Cela pose un problème pratique, puisque pour calculer 1/b, il faut préalablement pouvoir évaluer 2/b...