topologie: espace vectoriel normé

[invitef7cb9c5c]

Bonjour,
Est-ce qu'un espace vectoriel normé est nécessairement de dimension fini?
De même, je crois qu'un espace métrique est toujours séparé, n'est-ce pas?
fifrelette
-----

[inviteaf1870ed]

Prends l'espace vectoriel des fonctions continues sur IR, muni de la norme que tu voudras. Est il de dimension finie ?

[Seirios]

Bonsoir,

Ce serait triste s'il n'y avait que des espaces vectoriels normés de dimension finie Généralement, les espaces fonctionnels donnent des exemples d'evn de dimension infinie, ericcc t'en donne un exemple. Autrement, tu peux également regarder l'espaces des suites bornées muni de la norme infini.

Pour ta deuxième question, oui tout espace métrique est séparé. Si tu prends deux points distincts x et y d'un tel espace avec , alors les boules ouvertes de rayon r et centrées en x et y sont deux ouverts disjoints contenant respectivement x et y.

[invitef7cb9c5c]

Rebonsoir,
merci pour vos réponses, mais en fait c'est que ça m'aurait arrangé pour montrer que totu sev de dimension fini d'un ev normé est toujours fermé. je pensais le faire à partir des dim des différents espaces mais comme l'ev normé peut-être infini , peut-être je douis me servir des prpriétés de convergence des suites, mais je sais pas bien comment m'y prendre?
fifrelette

[A voir en vidéo sur Futura]

[Seirios]

Tu peux montrer que tout espace vectoriel normé de dimension fini est complet.

[inviteaf1870ed]

Voir ici : http://fr.wikipedia.org/wiki/Topolog...imension_finie

[invitef7cb9c5c]

j'ai bien lu sur le lien que tout sev de dim fini d'un ev normé est fermé , mais il n'y a pas d'explications,
en effet si on montre qu'il est complet alors il est fermé
Pour ça, il faut utilisé la restriction de la norme : mais je vois pas ce que c'est?
fifrelette

[invitef7cb9c5c]

Fixons une base (e1;


; ep) de F: Comme toutes les normes sont equivalentes en
dimension nie, la norme de E restreinte a F est equivalente a la norme ll.llinfini sur F
associee a (e1;


; ep):
Soit (xn)ncN une suite convergente de F: Elle est donc de Cauchy au sens de la norme
ll.llinfini, introduite ci-dessus et il alors immediat que toutes les composantes de la suite par
rapport a (e1;


; ep) sont des suites de Cauchy de K; donc convergent.

voilà, une explication que j'ai trouvé mais je ne saisis pas trés bien:

sinon si elles convergent dans F , effectivement ça montre que F est fermé mais comme au départ on a pris une suite convergente de F
j'ai l'impression que ça tourne en rond
mais peut-être c'est que je ne saisis pas le sens de : toutes ces composantes
fifrelette

[Seirios]

Initialement, la suite converge dans vers un point de l'espace vectoriel tout entier, et le but est de montrer que le point de convergence appartient à F.