Exercice Espace vectoriel normé

invitec811222d · 27/10/2011, 20h04

Bonjour j'ai besoin d'un petit coup de main (en fait gros parce que j'ai cherché longtemps et j'ai pas trouvé) sur l'exo suivant:

Soit $\text{[math]}$ on définit l'espace vectoriel $\text{[math]}$ muni de la norme $\text{[math]}$
1) Montrer que pour tout $\text{[math]}$ , montrer que cette inclusion est strice. Ca s'est fait.
2) Montrer que $\text{[math]}$ est dense dans $\text{[math]}$ pour la norme $\text{[math]}$ . C'est là que je bloque, si vous pouviez éclairer ma lanterne,aucun théorème de mon cours ne s'applique et avec la définition j'y suis pas parvenu. Toute aide sera la bienvenue !

Merci !

invitec811222d · 27/10/2011, 20h51

Personne ?

invite986312212 · 27/10/2011, 20h59

tu te donnes un élément de Xk, i.e. une suite (an) et tu cherches une suite d'éléments de Xk+1 qui converge vers an pour la norme de Xk. Est-ce que la suite bn telle que pour k<n bnk=an et pour k>=n bnk=0 ne conviendrait pas? <je note bnk le k-ième élément de la suite bn>

invitec811222d · 27/10/2011, 21h16

Bonsoir ambrosio et merci pour votre réponse.

Donc si j'écris ce que j'ai compris vous définissez une suite $\text{[math]}$ d'éléments de $\text{[math]}$ donc qui pour chaque k fixé défini une suite $\text{[math]}$ dans $\text{[math]}$ tel que $\text{[math]}$ si $\text{[math]}$ et $\text{[math]}$ si $\text{[math]}$ cette suite n'appartient pas à $\text{[math]}$ na ? A moins que j'ai fait une erreur sur les indices ?

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**Tiky** · 27/10/2011, 21h19

Je ne suis pas convaincu par ta proposition. Pour clarifier les choses. Je note $\text{[math]}$ le n-ième terme de la suite $\text{[math]}$ .
Tu souhaites poser $\text{[math]}$ la suite d'éléments de $\text{[math]}$ tel que $\text{[math]}$ si $\text{[math]}$ et $\text{[math]}$ sinon.
Le problème c'est que $\text{[math]}$ ne converge pas a priori vers $\text{[math]}$ pour $\text{[math]}$ . En effet :
$\text{[math]}$

Le problème c'est que ta suite $\text{[math]}$ appartient à $\text{[math]}$ pour tout $\text{[math]}$ . C'est beaucoup trop fort.

invite986312212 · 27/10/2011, 21h19

oui, je voyais les indices dans l'autre sens, à savoir que bn est élément de Xk+1 et bnk élément de R.

invitec811222d · 27/10/2011, 21h32

@ Tiky: Pourquoi bm est dans Xk+1 alors que an est dans Xk ?

**Tiky** · 27/10/2011, 21h32

En fait ça marche

. Désolé pour le doute. Comme $\text{[math]}$ , $\text{[math]}$ est le reste d'une série convergente.

**Tiky** · 27/10/2011, 21h33

Envoyé par mb019

@ Tiky: Pourquoi bm est dans Xk+1 alors que an est dans Xk ?

Tu veux montrer que $\text{[math]}$ est dense dans $\text{[math]}$ . Tu prends donc une suite dans $\text{[math]}$ qui converge vers un élément de $\text{[math]}$ (ici a).

invitec811222d · 27/10/2011, 21h38

Je me suis mal exprimé désolé lol, je voulais plutot dire pourquoi bm est dans Xk+1. Comment sait on que $\text{[math]}$ est fini ?

**Tiky** · 27/10/2011, 21h44

Parce que $\text{[math]}$

invitec811222d · 27/10/2011, 21h49

Oo Merci à vous deux

!! j'ai compris.

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