Petit vrai ou faux sur les limites

[invite9974b71e]

Bonsoir tout le monde,

J'aimerais confirmation sur un exercice de vrai-faux sur les limites. Je joins l'exercice à mon message.

Pour ce qui est des réponses, j'ai mis : Faux, faux, vrai, vrai, vrai (de la 1 à la 5).

Pouvez-vous me donner votre avis ?

Merci d'avance
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[invite8bab06c8]

Bonjour,

À vue de nez, la réponse de la 4 est fausse. Ce n'est pas difficile de trouver un contre exemple (à partir d'exponentielles décroissantes par exemple).
Ceci dit, même si les autres réponses sont correctes, la justification est souvent plus intéressante que la réponse elle-même !

[Seirios]

Bonjour,

Je serais curieux de voir ton contre-exemple. Il me semble facile à montrer que 4 est vrai : il existe et tels que pour tout , , d'où . En en prenant la limite, on montre bien que a une limite nulle à l'infini.

[invite936c567e]

Bonjour

À vue de nez, la réponse de la 4 est fausse. Ce n'est pas difficile de trouver un contre exemple (à partir d'exponentielles décroissantes par exemple).

Non. Prendre une exponentielle décroissante pour un contre-exemple qui fonctionne, ce serait prendre L=0. Or on précise que L>0.

Selon moi, toute les réponses données sont bonnes. Mais l'intérêt de l'exercice me semble de pouvoir justifier ces réponses, en les formalisant mathématiquement.

[A voir en vidéo sur Futura]

[invite9974b71e]

Bon, ok ça marche !

Merci bien

[breukin]

Le seul piège réside dans la 1), où on peut avoir tendance à confondre la fonction avec une autre fonction continue déduite par prolongement (ou à exclure le point de discontinuité dans la manière de tendre vers lui).

[invite8bab06c8]

@ Seiros :
Je suis un peu pressé mais il me semblait qu'avec f(x) = exp(-x) + 1 et g(x) = exp(-x)...

[breukin]

g(x) est supposé tendre vers + l'infini !

Ah exact, il y a un piège, il y tends, mais vers - l'infini.

Il est vrai que si on connait une limite de f en + l'infini, et une limite de g en - l'infini, on ne peut rien déduire du rapport, aussi bien en + qu'en - l'infini...
Il n'y a même pas besoin de contre-exemple, c'est de la pure logique qu'on ne peut rien inférer.